初中数学北师大版九年级下册第三章 圆7 切线长定理教案

*7　切线长定理

教学目标

一、基本目标

1．理解切线长的定义．

2．理解圆外接四边形的性质．

3．能够运用切线长定理进行有关的计算和证明．

二、重难点目标

【教学重点】

切线长定理．

【教学难点】

应用切线长定理解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．

2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．

3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝4.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，那么BD的长是____．

【互动探索】AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些相等线段？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？

【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，

∴AC＝AP.

∵BP、BD为⊙O的切线，

∴BP＝BD，

∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.

【答案】2

【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为(　B　)

A．7  B．14 

C．10.5  D．10

2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2.

3．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°.

4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，求∠BAC的度数．

解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴AP＝BP.

∵∠P＝60°，

∴∠PAB＝60°.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠PAC＝90°，

∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝30°.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．

(1)求证：AB＋CD＝AD＋BC；

(2)求∠AOD的度数．

【互动探索】(1)根据切线长定理可证得AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，进而证明AB＋DC＝AD＋BC；

(2)连结OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE＝∠OAN.同理∠ODN＝∠ODF，再利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AOD的度数．

【解答】(1)证明：∵⊙O切梯形ABCD于点E、M、F、N，

∴AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，

∴AE＋BE＋DF＋CF＝AN＋BM＋DN＋CM，

∴AB＋DC＝AD＋BC.

(2)连结OE、ON、OM、OF.

∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，

∴△OAE≌△OAN，

∴∠OAE＝∠OAN.

同理，∠ODN＝∠ODF.

∴∠OAN＋∠ODN＝∠OAE＋∠ODF.

又∵AB∥DC，

∴∠EAN＋∠CDN＝180°，

∴∠OAN＋∠ODN＝×180°＝90°，

∴∠AOD＝180°－90°＝90°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)圆的外切四边形的两条对边的和相等；(2)过圆外一点画圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

1．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长．

2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！