数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试综合训练题

这是一份数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试综合训练题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版（2019）必修第一册第四章指数函数与对数函数一、单选题1.（2019高一上·临澧月考）下列等式中，不正确的是（    ）            A.  ＝－3     B.  ＝－25     C.  ＝4－      D.  ÷ ＝ （ ）2.（2020高一上·大石桥月考）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （   ）            A. 1                                          B. -1                                          C. 2                                          D. -23.（2019高一上·唐山期中）函数  ，（ 且 ）恒过定点为(    )            A.                                   B.                                   C.                                   D. 4.（2019高一上·南阳月考）设函数 ，若 ，则 的取值范围是（    ）            A.              B.              C.              D. 5.（2020高一下·保定期末）已知数列 ， ，… ，…是首项为1，公比为2的等比数列，则 （    ）            A.                                 B.                                 C.                                 D. 6.（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m1-m2= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（   ）
            A. 1010.1                                 B. 10.1                                 C. lg10.1                                 D. 10-10.17.（2020高二上·汕尾期末）设函数的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”．若函数 为“倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ）            A.               B.               C.               D. 8.（2018高一上·天门月考）已知 ，则 （   ）            A. -2                                          B. 1                                          C. 0                                          D. -1二、填空题9.（2020高一下·浦东期中）已知函数 ，则           10.（2019·金山模拟）已知函数 ，则           11.（2019高二下·安徽月考）已知函数 .若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是      .    12.（2020高一上·沈阳月考）已知命题 ， 若 是真命题，则实数 的取值范围是      .    13.（2020高一上·台州期中）若函数 为指数函数，则 的值为________，函数在 上的最大值为________.    14.（2019高一上·杭州期中）已知函数 ，存在实数 满足 ，则 的取值范围是________．    三、解答题15.（2019高一上·唐山期中）求值：     16.（2019高一上·临渭期中）已知函数 ，    （1）求 的定义域;    （2）当 时, 求 的值;    （3）判断函数 的奇偶性.    17.（2020高一上·揭阳期末）已知函数 ， .设函数 .    （1）求函数 的定义域；    （2）判断 奇偶性并证明；    （3）当 时，若 成立，求x的取值范围.    18.（2018·宁县模拟）已知函数      若 ，求 的单调区间；  是否存在实数a，使 的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.（2020高一上·磐安月考）求值：    （1）求 的值；    （2）设 ，求 的最大值.    20.（2019高一上·随县月考）已知t为实数，函数 ，其中     （1）若 ，求 的取值范围．    （2）当 时， 的图象始终在 的图象的下方，求t的取值范围；    （3）设 ，当 时，函数 的值域为 ，若 的最小值为 ，求实数a的值.    21.（2020高一上·怀仁月考）已知函数 .    （1）若 是定义在R上的偶函数，求a的值及 的值域；    （2）若 在区间 上是减函数，求a的取值范围.   
答案解析部分一、单选题1.【答案】 B   【解析】【解答】A中， ，故正确； B中， ，故错误；C中，因为 ，所以 ，故正确；D中，因为 ，故正确；故答案为：B.【分析】根据分数指数幂的概念和指数的运算公式，对四个选项进行判断，得到答案.2.【答案】 B   【解析】【解答】 =- . 故答案为：B 
【分析】由奇函数的定义可知 =-   ， 代入函数解析式计算即可。3.【答案】 A   【解析】【解答】因为指数函数 的图象恒过点 , 所以令 ,则当 时, 的函数值为 ,此时函数 的函数值为 .所以函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 .故答案为：A【分析】由指数函数 的图象恒过点 可知,令 ,则 时有 的函数值为1,从而得到答案.4.【答案】 D   【解析】【解答】当 时, ,所以 ; 当 时, ,所以 ,综上所述: 的取值范围是 .故答案为：D【分析】按照 , 代入解析式解得结果相并即可得到答案.5.【答案】 D   【解析】【解答】由题设有 ， 而 ，当 时， 也满足该式，故 ，所以 ，故答案为：D. 
【分析】 根据题意，由等比数列的通项公式可得 ，由累乘法可得数列{an}的通项公式，进而由对数的运算性质分析可得答案．6.【答案】 A   【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ,天狼星的亮度为 ，根据题意 ,故 ，所以 ；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.7.【答案】 B   【解析】【解答】因为函数 为“倍缩函数”， 所以存在 ，使 在 上的值域为 ，由于 单调递增，所以 ，即 ， 为方程 的两个实根，进一步转化为函数 与 有两个交点，不妨先求出与函数 相切且斜率为 的直线方程，对于数 ，求导得 ，令 ，解得 ， ，所以斜率为 的切线方程为 ，该直线在 轴上的截距为 ，要使函数 与 有两个交点，则 ，所以 ，故答案为：B．【分析】先判断 单调递增，可得 ， 为方程 的两个实根，进一步转化为函数 与 有两个交点，求出切线在 轴上的截距，列式 即可求解.8.【答案】 C   【解析】【解答】∵   ∴  ．故答案为：C. 
【分析】由已知利用函数的奇偶性，得到  ， 再利用对数的运算性质即可求值.二、填空题9.【答案】 1   【解析】【解答】 ， 令 ，解得 ，所以 ，所以 .故答案为：1. 
【分析】由原函数的解析式反解出x，再将x与外互换，可得原函数的反函数，进而得解。10.【答案】    【解析】【解答】由反函数定义，令 ， 得 ＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16． 
【分析】根据反函数的定义令   ， 进而得出 。11.【答案】    【解析】【解答】函数 有两个零点即 与 有两个交点， 的图像如图所示：当 的斜率 时由图像可得有两个交点，故实数 的取值范围是 故答案为  
【分析】利用函数零点与两函数图象交点的等价关系，得出函数 有两个零点即 与 有两个交点，再利用两函数的图象，从而求出直线的斜率k的取值范围。12.【答案】    【解析】【解答】由题知， 为真命题， 对 恒成立， 在 上单调递增， 当 时， ，则 .故答案为： . 
【分析】根据题意由否命题的定义结合已知条件即可得出 为真命题，再由对数函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求出a的取值范围。13.【答案】 3；3   【解析】【解答】因为函数 为指数函数， 所以 ，解得 或 （舍去）因为 为R上的单调递增函数，所以当 时，函数有最大值3.故答案为：3；3 
【分析】由函数为指数可求出  ， 利用指数函数的单调性求最大值即可。14.【答案】    【解析】【解答】由函数 ，作出函数的图象； 因为存在实数 满足 ，由图像可得： ，解得 ； ，由 得 ，所以 ，因此 ，所以 ．故答案为： 【分析】作出函数 的图象，结合图像与题中条件，分析出 ， ，从而可得出结果．三、解答题15.【答案】 解：原式 【解析】【分析】利用分数指数幂与根式的互化及运算法则求解 ，利用对数的性质及运算法则求解 即可.16.【答案】 （1）解：由 求得函数的定义域为 (－2,2)
（2）解：当 时, 
（3）解：∵函数的定义域为(－2,2)  又 ∵ f(－x)=  ∴ 函数f(x)为奇函数【解析】【分析】（1）利用 求得 的定义域.（2）利用对数运算，求得 的值.（3） 定义域关于原点对称，且通过验证 ，由此证得 为奇函数.17.【答案】 （1）解：由 ，解得 ，  所以函数 的定义域为 .
（2）解： 是奇函数.证明如下：  ，都有   ， ∴ 是奇函数.
（3）解：由 可得 ，得 ，  由对数函数的单调性得 ，解得 解集为 .【解析】【分析】（1） 由题意得   ， 求解可得函数  的定义域； （2）根据奇函数的定义进行证明即可；
（3） 由  可得    ， 得    ，  再根据对数函数的单调性求解可得 x的取值范围.18.【答案】 解： 且 ，    可得函数   真数为   函数定义域为 令 可得：当 时，t为关于x的增函数；当 时，t为关于x的减函数．  底数为   函数 的单调增区间为 ，单调减区间为   设存在实数a，使 的最小值为0，由于底数为 ，可得真数 恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当 时，t值为1．  因此存在实数 ，使 的最小值为0．【解析】【分析】（1）代入   ， 即可求得a的值，进而得出函数解析式，根据函数的定义域，讨论真数对应的二次函数在定义域内的单调性，即得函数的单调区间。
（2）首先假设a存在，由此得出 真数 恒成立 ， 且真数t的最小值恰好是1 ，再结合二次函数的性质得出a的值，由此得出结果。19.【答案】 （1）原式   
（2）当且仅当 时，取得最大值 .          当且仅当   即   时取等号. 所以当且仅当   时 最大，最大值为1.【解析】【分析】（1）利用对数式的运算性质和运算法则即可求解；
（2）   ，然后利用基本不等式即可求出   的最大值 。   20.【答案】 （1）解：由题意得函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，  ，解得 ，则x的取值范围是
（2）解：由题意设h（x）=f（x）-g（x）=2loga（2x+t-2）-logax＜0在x∈[1，4]恒成立，  ∴2loga（2x+t-2）＜logax，∵0＜a＜1，x∈[1，4]，∴只需要2x+t-2＞ 恒成立，即 恒成立，∴ ,令 ,∴ ,∴t的取值范围是t＞1
（3）解：∵t=4，0＜a＜1，  ∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（-1，- ）上单调递减，在（- ，+∞）上单调递增，∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（- ）=0，∴ (等号不同时取到),令|2loga(2x+2)|=2,得 ,又 ,∴ ,∴n-m的最小值为 ,∴a= .【解析】【分析】（1）根据对数函数的图像与性质化简即可求解；（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），根据对数函数的图象和性质可得，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，即可得到n-m的最小值.21.【答案】 （1）解：因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，  所以 ，故 ，此时， ，定义域为R，符合题意.令 ，则 ，所以 ，故 的值域为
（2）解：设 .  因为 在 上是减函数，所以 在 上是减函数，且 在 上恒成立，故 解得 ，即 【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求出a的值，从而求出函数的解析式，再利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断函数的单调性，进而求出函数的值域。
（2）利用复合函数的单调性，即同增异减，从而判断函数的单调性，再利用函数 在区间 上是减函数，从而求出实数a的取值范围。