数学必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试综合训练题

人教A版（2019）必修第二册第八章

立体几何初步

一、单选题

1.（2021高一下·南安期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（    ） 

A. 17斛                                    B. 25斛                                    C. 41斛                                    D. 58斛

2.（2020高一下·牡丹江期末）已知平面 和 外的一条直线 ，下列说法不正确的是（    ）           

A. 若l垂直于 内的两条平行线，则               B. 若l平行于 内的一条直线，则
C. 若l垂直于 内的两条相交直线，则            D. 若l平行于 内的无数条直线，则

3.（2019·抚顺模拟）在三棱锥 中，已知 ， ，点 ， 分别为棱 ， 的中点，则下列结论正确的是(   )           

A. 直线 直线                                          B. 直线 直线
C. 直线 直线                                          D. 直线 直线

4.（2021高二上·砀山月考）已知 是球 的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥  的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（   ）           

A. 12π                                     B. 16π                                     C. 24π                                     D. 36π

5.（2019高二下·瑞安期末）在空间中，设α，b表示平面，m，n表示直线.则下列命题正确的是（   ）           

A. 若m∥n，n⊥α，则m⊥α                                   B. 若m上有无数个点不在α内，则m∥α
C. 若 ，则                              D. 若m∥α，那么m与α内的任何直线平行

6.（2020高二下·虹口期末）正方体 的棱长为1，P为 的中点，Q为线段 上的动点，三棱锥 的体积记为 ，三棱锥 的体积记为 ，则以下结论正确的是（    ）           

A.                  B.                  C.                  D.  与 的大小关系不能确定

7.（2020·贵州模拟）直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥 的体积为（    ）           

A. 3                                           B.                                            C. 1                                           D. 2

8.（2019高二上·瓦房店月考）在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（    ）           

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

9.（2020·安庆模拟）已知矩形 ， ，E，F分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折起，使 ，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（   ）           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

10.（2018高二上·万州月考）在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与AC所成角为(       )           

A. 90°                                       B. 60°                                       C. 45°                                       D. 30°

11.（2019·温州模拟）在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（   ）           

A. PE＋QF＝2                       B. PE•QF＝2                       C. PE＝2QF                       D. PE2＋QF2＝2

二、填空题

12.（2019·普陀模拟）若一个球的体积是其半径的 倍，则该球的表面积为________．   

13.（2021高一下·丰台期末）如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其内部运动，且 ．给出下列结论： 

① ；

②三棱锥 的体积为定值；

③点P在线段CE上(E为BB1的中点)；

④ 面积的最大值为2．

其中所有正确结论的序号是                  ．

14.（2021·张家口模拟）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把 按 计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于                   ．  

15.（2020高三上·泰州期中）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝ ，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为________．   

16.（2020高一下·哈尔滨期末）空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为 ，设 ， ，则过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的面积为________.   

17.（2019高二上·长春月考）已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上．若 ， ， ， ，则球 的体积为________．   

18.（2020高三上·永州月考）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， 面 ，点 、 分别是 的中点， 为 上一点，且 ， 为正方形 内一点，若 //面 ，则 的最小值为________.   

19.（2021高二下·宣城期末）已知菱形 边长为3，且较长对角线 ，将 沿 翻折到 的位置，且二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的体积为      .   

三、解答题

20.（2021·长春模拟）如图，四面体 中， . 

（1）指出四面体各面中与平面 垂直的面，并加以证明；   

（2）若 ，二面角 的大小为 ，当 长度变化时，求 取值范围. 

21.（2020高二下·宣城期末）如图，直三棱柱 中，D是棱 的中点，且 ， . 

（Ⅰ）证明：平面 平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的大小.

22.（2019高一上·衡阳期末）在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H 

（1）求证：截面EFGH为平行四边形   

（2）若P、Q在线段BD、AC上， ，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH   

23.（2021·永州模拟）在四棱锥 中，四边形 是边长为4的菱形，   ， . 

（1）证明： 平面 ；   

（2）如图，取 的中点为 ，在线段 上取一点 使得 ，求二面角 的大小.  

24.（2021高二下·上虞期末）在四棱锥 中，底面 是正方形， ， .   

（1）求证： ；   

（2）设 ，连接 ， 上的点 满足 

，求 与平面 所成角的正弦值.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C  

2.【答案】 A  

3.【答案】 D  

4.【答案】 B  

5.【答案】 A  

6.【答案】 B  

7.【答案】 C  

8.【答案】 D  

9.【答案】 D  

10.【答案】 C  

11.【答案】 D  

二、填空题

12.【答案】 4  

13.【答案】 ①②③  

14.【答案】   

15.【答案】   

16.【答案】 6  

17.【答案】   

18.【答案】   

19.【答案】   

三、解答题

20.【答案】 （1）证明：
（2）解：以 为原点， 方向为 轴，以 方向为 轴，以过点 垂直平面 向上方向为 轴，建立空间坐标系.设 ， 

， ， ，

， ，则平面 的法向量 ；

， ，则平面 的法向量 ；

有 ，

所以 ，即 的取值范围是

21.【答案】 解：（Ⅰ）直三棱柱 中， ，  

在 中， ， ，则

在 中， ， ，则 ；

又 平面ABC，则

又 ， ， 平面 ，

则 平面 ，

又 平面BCD，则平面 平面 .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：CA，CB， 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-xyz，

则 ， ， ，

则 ， ，

设平面ABD的一个法向量为

则

令 ，则

设平面 的一个法向量为 ，

同理可得 ，则

由图可知二面角 的平面角为钝角，则其大小为150°.

22.【答案】 （1）证明：∵AD∥平面EFGH，平面ADB 平面EHGH=EF，AD 平面ABD， 

∴AD∥EF  ∵AD∥平面EHGH，平面ADC 平面EHGH=GH，AD 平面ADC，. ∴AD∥GH

由平行公理可得EF∥GH

同理可得EH∥FG

∴四边形EFGH为平行四边形

（2）解：如图在CD上取点M，使 ，连接MQ 

则PM∥BC∥FG， ，则QM∥AD∥HG

PM QM=M∴平面PMQ∥平面EHGH

∵PQ 平面PMQ

∴PQ∥截面EFGH

23.【答案】 （1）因为 ， ，所以 ，所以 ， 

又因为 为平行四边形，所以 ， ，

因为 ， ， ，所以 ，所以 ，

因为 ，所以 平面 ，所以 ，

因为 ， ， ，所以 ，所以 ，

因为 ，所以 平面 ，所以 ，

因为 ，所以 平面 .

（2）由（1）知， ， ， 两两垂直，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 

在三角形 中， ，

则 ， ， ， ， ， ，

所以 ，

因为 ， ， ，

，

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，即 ，

令 ，得 ， ，于是取 ，

又由（1）知，底面 为正方形，所以 ，

因为 平面 ，所以 ，

因为 ，所以 平面 ，

所以 是平面 的一个法向量，

设二面角 的大小为 ，则 ，

所以二面角 的大小为 .

24.【答案】 （1）证明： 且 ， ，于是 ； 同理 ， 所以 .
（2）由(Ⅰ)得，面 面 ，过点 作 ，垂足为 ，显然   

由 ，得 .又因为 ，过点 到面 的距离为

又   ，

于是 与平面 所成角的正弦值为

另解1：由（Ⅰ）建立如图坐标系，

，   , , , .则

， ，

设面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得： .

于是

另解2：设点 到面 的距离为 ，由

得： ， ；

又   ，

于是 与平面 所成角的正弦值为 .