数学必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课时作业

这是一份数学必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课时作业，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教新课标必修一第一章
集合与函数概念
一、单选题
1.（2019高一上·通榆月考）若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）= f(2x)x−1 的定义域是（   ）
A. （0，1]                       B. [0，1）                       C. （0，1）∪（1，4]                       D. （0，1）
2.（2018高三上·辽宁期末）设集合 A={x|x2−9<0},B={x|2x∈N} ，则 A∩B 的元素的个数为 （    ）
A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
3.定义在−1,1上的函数fx是奇函数，并且在−1,1上fx是减函数，求满足条件f1−a+f1−a2<0的a取值范围.（　　）
A. 0,1                               B. −2,1                               C. 0,1                               D. −2,1
4.（2020高二下·浙江期末）已知函数 f(x)=(m2−m−1)xm3−1 是幂函数，对任意的 x1,x2∈(0,+∞) 且 x1≠x2 ，满足 f(x1)−f(x2)x1−x2>0 ，若 a,b∈R,a+b<0 ，则 f(a)+f(b) 的值（    ）
A. 恒大于0                              B. 恒小于0                              C. 等于0                              D. 无法判断
5.函数 f(x)=x(2x−1)2(2x+1) 的图象大致为（    ）
A.                         B. 
C.                          D. 
6.（2020高三上·相城月考）若定义在R的奇函数 f(x) 在 (−∞,0) 单调递增，且 f(2)=0 ，则满足 xf(x+1)≤0 的x的取值范围是（    ）
A. [−3,−1]∪[1,+∞)                                          B. [−3,−1]∪[0,1]
C. (−∞,−3]∪[−1,0]∪[1,+∞)                        D. [−1,0]∪[1,3]
7.（2017·湘西模拟）已知点A（0，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2；② y=1−x2 ；③y=x+1．其中，“点距函数”的个数是（   ）
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
8.（2020高三上·北京月考）已知集合 A,B 满足：（ⅰ） A∪B=Q ， A∩B=∅ ；（ⅱ） ∀x1∈A ，若 x2∈Q 且 x2y1 ，则 y2∈B .
给出以下命题：①若集合 A 中没有最大数，则集合 B 中有最小数；②若集合 A 中没有最大数，则集合 B 中可能没有最小数；③若集合 A 中有最大数，则集合 B 中没有最小数；④若集合 A 中有最大数，则集合 B 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是(    )
A. ①③                                     B. ②③                                     C. ③④                                     D. ①④
二、填空题
9.（2021高一上·商丘月考）已知集合 M={0,1,a,a2−3a−2} ， N={2,−1} ，若 M∩N 中恰有2个元素，则实数 a=         ．
10.（2019高一上·长沙月考）已知集合 A={−1,0,1,6} ， B={x|x>0,x∈R} ，则 A∩B= ________.
11.（2020高一上·合肥期末）已知函数 f(x)=x−12(x>0) ，若 f(a+1) 12.（2019高一上·雅安月考）设 f(x) 是定义在 R 上的函数.①若存在 x1,x2∈R,x10 对于任意 x1∈R 都有 f(x1) 13.（2020·龙岩模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点 B(x,y) 的轨迹方程是 y=f(x) ，则 f(19)= ________.

14.（2020高一上·上海期中）已知集合 A={(x,y)|y=−x2+ax−1} ， B={(x,y)|x+y=3,0≤x≤3} ，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则实数 a 的取值范围________
15.（2019高三上·上海期中）设定义域为 (0,+∞) 的递增函数 f(x) 满足：对任意的 x∈(0,+∞) ，均有 f(x)>−6x ，且 f(f(x)+6x)=5 ，则 f(10)= ________.
16.（2020高一上·成都月考）已知 f(x) 是定义域为 R 的增函数，对任意 x ， y∈R ，都有 f(x+y)=f(x)⋅f(y) ，同时 f(1)=2 ，则不等式 f(3x−x2)>4 的解集为________.
17.（2019高一上·武功月考）已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，则实数 m 的取值范围是________
三、解答题
18.（2021高三上·赣州期中）已知 R 为全集，集合 A={x|x2−8x+7<0,x∈R} ，集合 B={x|a+2 （1）求 ∁RA .
（2）若 A∩B=B ，求实数 a 的取值范围.





19.（2019高一上·兰考月考）已知 f(x) 定义域为R,对任意x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)−1 ,当 x>0 时, f(x)<1 , f(1)=0 .
（1）求 f(−1) ;
（2）试判断 f(x) 在R上的单调性,并证明;
（3）解不等式: f(2x2−3x−2)+2f(x)>4 .





20.（2020高一上·曲阜月考）已知函数f(x)＝ x21+x2 .
（1）求f(2)＋f (12) ，f(3)＋f (13) 的值；
（2）由（1）中求得的结果，你发现f(x)与f (1x) 有什么关系？并证明你的发现.
（3）求2f(1)＋f(2)＋f (12) ＋f(3)＋f (13) ＋…＋f(2017)＋f (12017) ＋f(2018)＋f (12018) 的值.



21.（2019高一上·翁牛特旗月考）已知A＝{x|－1 （1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若 B⊆CRA ，求实数m的取值范围．


22.（2020高一上·台州期末）讨论 f(x)=x+ax(a≠0) 在 (0,+∞) 上的单调性．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】由y=f（x）的定义域为（0，2]，
令 {0<2x≤2x−1≠0 ，
解得0＜x＜1，
∴函数g（x）= f(2x)x−1 的定义域是（0，1）．
故答案为：D．

2.【答案】 D
【解析】 ∵集合 A={x|x2−9<0}={x|−3 3.【答案】 A
【解析】因为，定义在上的函数是奇函数，并且在上是减函数，所以，， 可化为， 故有， 解得，， 故选A。

4.【答案】 B
【解析】由题可知：函数 f(x)=(m2−m−1)xm3−1 是幂函数，
则 m2−m−1=1⇒m=2 或 m=−1 ，
又对任意的 x1,x2∈(0,+∞) 且 x1≠x2 ，满足 f(x1)−f(x2)x1−x2>0 ，
所以函数 f(x) 为 (0,+∞) 的增函数，故 m=2 ，
所以 f(x)=x7 ，又 f(−x)=−f(x) ，
所以 f(x) 为 R 单调递增的奇函数，
由 a+b<0 ，则 a<−b ，所以 f(a) 则 f(a)+f(b)<0.
故答案为：B
5.【答案】 A
【解析】显然 f(x) 的定义域为 R ，且 f(−x)=−x(2−x−1)2(2−x+1)=−x(1−2x)2(1+2x)=x(2x−1)2(2x+1)=f(x) ，
于是得 f(x) 为偶函数，其图象关于y轴对称，B和C不满足；
而 f(1)=16>0 ，显然D不满足，
所以函数 f(x)=x(2x−1)2(2x+1) 的图象大致为A.
故答案为：A

6.【答案】 B
【解析】解：因为定义在R的奇函数 f(x) 在 (−∞,0) 单调递增，所以由奇函数的性质可知， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，且 f(−x)=−f(x) ，
所以 f(−2)=−f(2)=0 ，
由 xf(x+1)≤0 得
当 x>0 时， f(x+1)≤0 ，
因为 f(2)=0 ，所以 x+1≤2 ，
所以 0 当 x<0 时， f(x+1)≥0 ，
因为 f(−2)=0 ，所以 0≥x+1≥−2 ，
所以 −3≤x≤−1 ，
当 x=0 时，不等式 xf(x+1)≤0 恒成立，
综上，x的取值范围是 [−3,−1]∪[0,1]
故答案为：B
7.【答案】D
【解析】解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x， 交直线y=﹣x+2于D（1，1）点，
D（1，1）在y=﹣x+2的图象上，
故y=﹣x+2的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于②，y= 1−x2 表示以（0，0）为圆心以1为半径的半圆，
图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于③，过A作直线y=x+1的垂线y=﹣x，
交直线y=x+1于E（﹣ 12 ， 12 ）点，
E（ −12 ， 12 ）在y=x+1的图象上，
故y=x+1的图象上存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
综上所述，其中“点距函数”的个数是3个，
故选：D
8.【答案】 B
【解析】若 A∪B=Q ， A∩B=∅     ∴A=CQB
则集合 A 为所有小于等于 x1 的有理数的集合，集合 B 为所有大于等于 y1 的有理数的集合
∵A=CQB     ∴y1 无限接近 x1 ，即集合 B 为所有大于 x1 的有理数的集合
当集合 A 有最大数，即 x1 有最大值时，大于 x1 的有理数无最小数，可知③正确；
当集合 A 无最大数，即 x1→a 时， a 为集合 B 中的最小数；也可能 a 为无理数，则 y1→a ，集合 B 中无最小数，可知②正确
故答案为：B
二、填空题
9.【答案】 －1
【解析】根据题意可得 {a=2a2−3a−2=−1 或 {a=−1a2−3a−2=2 ，经检验，只有 a=−1 符合．
故答案为：-1.

10.【答案】 {1,6}
【解析】由题知， A∩B={1,6} .
11.【答案】 （3,5）
【解析】易知函数 f(x)=x−12(x>0) 是定义域内的单调递减函数，根据题意可得 {a+1>0,10−2a>0,a+1>10−2a, 解得 {a>−1,a<5,a>3. 据此可得a的取值范围是 3 故答案为：（3,5）．
12.【答案】 ②
【解析】①、“任意”x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， 使f（x1）＜f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递增，故①不对；
②、由减函数的定义知，必须有“任意”x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， 使f（x1）＞f（x2）成立，故②对；
③、由增函数的定义知，“任意”x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， 使f（x1）＜f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递增，而不是存在 x2>0 ，故③不对；
故答案为②．
13.【答案】 3
【解析】由题意，当 −4≤x<−2 时，顶点 B(x,y) 的轨迹是以点 A(−2,0) 为圆心，以2为半径的 14 圆；
当 −2≤x<2 时，顶点 B(x,y) 的轨迹是以点 D(0,0) 为圆心，以 22 为半径的 14 圆；
当 2≤x<4 时，顶点 B(x,y) 的轨迹是以点 C(2,0) 为圆心，以2为半径的 14 圆；
当 4≤x<6 ，顶点 B(x,y) 的轨迹是以点 A(4,0) 为圆心，以2为半径的 14 圆，
与 −4≤x<−2 的形状相同，
因此函数 y=f((x) 的图象在 [−4,4] 恰好为一个周期的图象；
所以函数 y=f(x) 的周期是8；
∴ f(19)=f(3)=3 ，其图象如图：

故答案为： 3 .
14.【答案】 a>103 或a=3
【解析】集合 A={(x,y)|y=−x2+ax−1} ， B={(x,y)|x+y=3,0≤x≤3} ，
若A∩B中有且仅有一个元素，则由 {y=−x2+ax−1x+y=30≤x≤3 ，
得 x2−(a+1)x+4=0 在 x∈[0,3] 上有且仅有一解；① Δ=0 时方程有相等实根且在[0，3]上，即 {Δ=(a+1)2−4×1×4=00≤a+12≤3⇒a=3 ② Δ>0 时，只有—根在[0，3]上，两根之积为4> 0，则 32−(a+1)×3+4〈0⇒a〉103 ，
所以a的取值范围是a=3或 a>103 .
故答案为： a>103 或a=3
15.【答案】 275
【解析】解：∵对任意的 x∈(0,+∞) ，均有 f(f(x)+6x)=5 ，且 f(x) 在 (0,+∞) 上递增，
故 f(x)+6x ＝k，
即 f(x)=k−6x ，
∴ f(k)=k−6k=5 ，
解得： k=6 ，或 k=−1
又 f(x)>−6x
∴ k=6 ，即 f(x)=6−6x
∴ f(10)=6−610=275
故答案为： 275
16.【答案】 {x｜1＜x＜2}
【解析】因为对任意 x ， y∈R ，都有 f(x+y)=f(x)⋅f(y) ，且 f(1)=2 ，
所以 f(2)=f(1+1)=f(1)⋅f(1)=2×2=4 ，
不等式 f(3x−x2)>4 等价于 f(3x−x2)>f(2) ，
又因为 f(x) 是定义域为 R 的增函数，
所以 3x−x2>2⇔x2−3x+2<0 ，
即 (x−1)(x−2)<0⇒1 故答案为：{x|1＜x＜2}。

17.【答案】 (－ 12,23 )
【解析】由 f(m−1)−f(1−2m)>0 得 f(m−1)>f(1−2m) ，由于函数 f(x) 在 (−2,2) 上递减，故 {−2 故填： (−12,23) .


三、解答题
18.【答案】 （1）解：集合 A={x|x2−8x+7<0,x∈R} ，化简得 A={x|1 所以 ∁RA={x|x≤1 或 x≥7}

（2）解：∵ A∩B=B ，∴ B⊆A ，
当 B=∅ 时，即 a+2≥2a+5 ，得 a≤−3 ，符合题意，
当 B≠∅ 时，即 {a+2<2a+5a+2≥12a+5≤7 解得 −1≤a≤1 ，
综上所述实数a的取值范围： (−∞−3]∪[−1,1] .
所述实数a的取值范围： −∞−3]∪[−1,1]
19.【答案】 （1）解：由题意，令 x=y=0 ，得 f(0)=f(0)+f(0)−1 ，解得 f(0)=1
令 x=1,y=−1 ，得 f(0)=f(1)+f(−1)−1 ，所以 f(−1)=2 .

（2）解：函数 f(x) 在 R 上单调递减，证明如下：
任取 x1,x2∈R ，且 x1 可得 f(x1)−f(x2)=f(x1)−f(x2−x1+x1)=f(x1)−[f(x2−x1)+f(x1)−1]
=1−f(x2−x1) ，
因为 x2−x1>0 ，所以 f(x2−x1)<1 ，所以 f(x1)−f(x2)>0
即 f(x1)>f(x2) ，所以 f(x) 在 R 上单调递减

（3）解：令 y=x ，得 f(2x)=f(x)+f(x)−1 ，∴ 2f(x)=f(2x)+1
∴ f(2x2−3x−2)+2f(x)=f(2x2−3x−2)+f(2x)+1=f(2x2−3x−2+2x)+2>4
∴ f(2x2−x−2)>2 ，又 f(x) 在 R 上的单调且 f(−1)=2
∴ f(2x2−x−2)>f(−1) ，∴ 2x2−x−2<−1 .
∴ −12 20.【答案】 （1）解：因为f(x)＝ x21+x2 ，
所以f（2）＋f (12) ＝ 221+22 ＋ (12)21+(12)2 ＝1
f（3）＋f (13) ＝ 321+32 ＋ (13)21+(13)2 ＝1.

（2）解：由（1）可发现f(x)＋f (1x) ＝1.证明如下：
f(x)＋f (1x) ＝ x21+x2 ＋ (1x)21+(1x)2
＝ x21+x2 ＋ 1x2+1 ＝ x2+1x2+1 ＝1，是定值.

（3）解：由（2）知，f(x)＋f (1x) ＝1，
因为f（1）＋f（1）＝1，
f（2）＋f (12) ＝1，
f（3）＋f (13) ＝1，
f(4)＋f (14) ＝1，
…
f(2018)＋f (12018) ＝1，
所以2f（1）＋f（2）＋f (12) ＋f（3）＋f (13) ＋…＋f(2017)＋f (12017) ＋f(2018)＋f (12018) ＝2018.
21.【答案】 （1）解：m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1 （2）解： CRA ＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝ ∅ ，即m≥1＋3m时得 m≤−12 ，满足 B⊆CRA ，
当B≠ ∅ 时，要使 B⊆CRA 成立，则 {m<1+3m1+3m≤−1或{m<1+3mm>3 解之得m>3．
综上可知，实数m的取值范围是m>3或 m≤−12 ．
22.【答案】 解：任取 x1,x2∈(0,+∞) ，且 x1 =(x2−x1)+a(x1−x2)x1x2=(x2−x1)(x1x2−a)x1x2 ．
∵ x1,x2∈(0,+∞) ，∴ x1x2>0 ．∵ x10 ．
①若 a<0 ，则 x1x2−a>0 ，∴ f(x2)−f(x1)>0 ，即 f(x1) ∴ f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增．
②若 a>0 ，则当 0f(x2) ，∴ f(x) 在 (0,a] 上单调递减；
当 x2>x1>a 时， x1x2−a>0 ，∴ f(x2)−f(x1)>0 ，
即 f(x1) 综上可知，当 a<0 时， f(x)=x+ax 在 (0,+∞) 上单调递增；
当 a>0 时， f(x)=x+ax 在 (0,a] 上单调递减，在 (a,+∞) 上单调递增．