高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试课时训练

这是一份高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试课时训练，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教新课标A版必修2第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.（2019高二上·宁波期中）下列命题不正确的是（    ）
A. 若 P∈α∩β ，且 α∩β=l ，则 P∈l
B. 若 A∈l,B∈l ，且 A∈α,B∈α ，则 l⊆α
C. 若直线 a∩ 直线 b=A ，则直线 a 与直线 b 确定一个平面
D. 三点 A,B,C 确定一个平面.
2.（2020高一下·扬州期末）已知平面 α 、平面 γ 、平面 β 、直线 a 以及直线 b ，则下列命题说法错误的是（    ）
A. 若 a//α,b⊥α ，则 a⊥b                                B. 若 α//β,α∩γ=a,β∩γ=b ，则 a//b
C. 若 α//β,a⊥α ，则 a⊥β                                D. 若 α⊥γ,β⊥γ ，则 α//β
3.（2020高二下·盐城期末）若平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为2的菱形，且 ∠BAD=60° ， AA1 ⊥底面ABCD， AA1=1 ，则异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为（    ）
A. 6513                                    B. −6513                                    C. 15                                    D. −15
4.（2021高一下·三明期末）如图，在三棱锥P—ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，则 AFFC 的值为（    ）

A.1 B.2 C.12 D.23
5.（2019·恩施模拟）已知 m,n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m∥α ， m⊥n ，则 n⊥α ；②若 m⊥α ， n∥α ，则 m⊥n ；③若 m,n 是异面直线， m⊂α ， m∥β ， n⊂β ， n∥α ，则 α∥β ；④若 m,n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（  ）
A. ②③④                        B. ①②③                          C. ①③④                          D. ①②④
6.（2019高三上·宝坻期中）有下面四个命题，其中正确命题的序号是（    ）
①“直线 a 、 b 不相交”是“直线 a 、 b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线 l⊥ 平面 α 内所有直线”的充要条件是“ l⊥ 平面 α ”；③“直线 a/ 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的平面”；④“直线 a/ 平面 α ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于 α 内的一条直线．”
A. ①③                                     B. ②③                                 C. ②④                           D. ③④
7.（2020高三上·潍坊期中）已知 a ， b 为不同直线， α ， β 为不同平面，则下列结论正确的是（    ）
A. 若 a⊥α ， b⊥a ，则 b//α                              
B. 若 a ， b⊂α ， a//β ， b//β ，则 α//β
C. 若 a//α ， b⊥β ， a//b ，则 α⊥β              
D. 若 α∩β=b ， a⊂α ， a⊥b ，则 α⊥β
8.（2021·重庆模拟）已知棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1 ， M 为 C1D1 的中点，点 N 在正方体的表面上运动，且 B1N⊥AM ，则动点 N 的轨迹长度为（    ）
A. 35                              B. 22+25                              C. 32+25                            D. 45
9.（2019高二上·佛山月考）如图，矩形 ABCD 中， AB=2AD ， E 为边 AB 的中点，将 ΔADE 沿直线 DE 翻折成 ΔA1DE ．若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ΔADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（   ）

A. |BM| 是定值                                                         B. 点 M 在某个球面上运动
C. 存在某个位置，使 DE⊥A1C                            D. 存在某个位置，使 MB// 平面 A1DE
二、填空题
10.（2019高一上·蒙山月考）在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， A1B 与 B1D1 所成的角等于________.
11.（2019高一上·汪清月考）如图所示，在圆锥 SO 中， AB，CD 为底面圆的两条直径， AB∩CD=O ，且 AB⊥CD , SO=OB=2 ， P 为 SB 的中点，则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为________.

12.（2019高一上·衡阳月考）在矩形 ABCD 中， AB ①存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直；
②存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直；
③存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.
其中正确结论的序号是       .
13.（2019高一下·安庆期末）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．

14.（2019高三上·大庆期中）如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上 ( 异于点A, B) ,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点 . 有以下四个命题：

① MO ∥平面 PAC ；
② PA ∥平面 MOB ；
③ OC⊥ 平面 PAC ；
④平面 PAC⊥ 平面 PBC ．
其中正确的命题的序号是________．
15.（2020高二上·山西月考）已知三棱柱 ABC−A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 内的射影为 △ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于       ．
16.（2019高二上·濠江期中）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0
①l∥平面ABCD；
②l⊥AC；
③直线l与平面BCC1B1不垂直；
④当x变化时，l不是定直线.
其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)
17.（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，C是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为________.

三、解答题
18.（2020·大庆月考）如图所示，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，棱长为2，且 E,F 分别为 BB1,DD1 的中点.

（1）求证： AE ∥平面 BC1F ；
（2）求四面体 A−BC1F 的体积.





19.（2019·新宁模拟）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点

（1）求证：EF∥平面PBD．
（2）如果AB=PD，求异面直线EF与BD所成角的正切值








20.（2020高二上·静乐月考）如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 AB ， AA1 的中点．求证：

（1）E ， C ， D1 ， F 四点共面；
（2）CE ， D1F ， DA 三线共点．







21.（2020·广东模拟）设三棱锥 P−ABC 的每个顶点都在球 O 的球面上， ΔPAB 是面积为 33 的等边三角形， AC⊥BC ， AC=BC ，且平面 PAB⊥ 平面 ABC .

（1）求球 O 的表面积；
（2）证明：平面 POC⊥ 平面 ABC ，且平面 POC⊥ 平面 PAB .
（3）与侧面 PAB 平行的平面 α 与棱 AC ， BC ， PC 分别交于 D ， E ， F ，求四面体 ODEF 的体积的最大值.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】解：对于A：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A中，平面 α 与平面 β 有一个交点 P ，则有一条交线，且 P 在交线上.所以A符合题意.
对于B：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B真确.
对于C：由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意.
对于D：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知， A,B,C 三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.
故答案为：D
2.【答案】 D
【解析】A项：因为 a//α ， b⊥α ，所以 a⊥b ， a⊥b ，A符合题意；
B项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行，
所以根据 α//β 、 α∩γ=a 、 β∩γ=b 可证得 a//b ，B符合题意；
C项：因为 a⊥α ，所以 a 垂直于平面 α 内的两条相交直线，
因为 α//β ，所以平面 α 内的两条相交直线必与平面 β 内的两条相交直线对应平行，
所以 a 垂直于平面 β 内的两条相交直线， a⊥β ，C符合题意；
D项：

如图所示，绘出正方体 ABCD−EFGH ，
令平面 ABCD 是平面 α ，平面 ADHE 是平面 γ ，平面 CDHG 是平面 β ，
则满足 α⊥γ ， β⊥γ ，但是 α//β 不成立，D不符合题意，
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】连 AC,BD 交于 O ， A1C1,B1D1 交于 O1 ，连 OO1 ，则 OO1//AA1 ，

∵AA1 ⊥底面ABCD， ∴OO1⊥ 底面ABCD，
∵ 底面 ABCD 是边长为2的菱形， ∴AC⊥BD ，
∵∠BAD=60°,∴BD=2,AC=23 ，
以点 O 为坐标原点， OA,OB,OO1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
A(3,0,0),B1(0,1,1),C(−3,0,0),C1(−3,0,1),
AC1=(−23,0,1),B1C=(−3,−1,−1) ，
cos=AC1⋅B1C|AC1||B1C|=6−113×5=6513 ，
所以异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 6513 .
故答案为：A.
4.【答案】 C
【解析】解：连接 CD ，交 PE 于 G ，连接 FG ，如图，

∵AD// 平面 PEF ，平面 ADC∩ 平面 PEF=FG ，
∴AD//FG ，
∵ 点 D ， E 分别为棱 PB ， BC 的中点．
∴G 是 △PBC 的重心，
∴ AFFC=DGGC=12 ．
故答案为：C．

5.【答案】 A
【解析】①若 m∥α ， m⊥n ，则 n 与 α 位置关系不确定；
②若 n∥α ，则 α 存在直线 l 与 n 平行，因为 m⊥α ，所以 m⊥l ，则 m⊥n ；
③当 m⊂α ， m∥β ， n⊂β ， n∥α 时，平面 α ， β 平行；
④逆否命题为：若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m,n 平行，为真命题.
综上，为真命题的是②③④.
故答案为：A

6.【答案】 C
【解析】解：①“直线 a 、 b 为异面直线” ⇒  “直线 a 、 b 不相交”，
“直线 a 、 b 不相交” 直线 a 、 b 的位置关系有平行或异面，故由“直线 a 、 b 不相交”得不到“直线 a 、 b 为异面直线”
因此“直线 a 、 b 不相交”是“直线 a 、 b 为异面直线”的必要而不充分条件，因此不正确；
②“直线 l⊥ 平面 α 内所有直线”的充要条件是“ l⊥ 平面 α ”，正确；
③由“直线 a/ 直线 b ”则直线 a 与直线 b 所在的平面的位置关系有平行、在平面内；
由“ a 平行于 b 所在的平面”则直线 a 与直线 b 可能平行，异面；
故“直线 a/ 直线 b ”与“ a 平行于 b 所在的平面”相互不能推出，
因此不正确；
④由“直线 a/ 平面 α ” 可得直线 a 平行平面 α 内的无数条直线；
由“直线 a 平行于 α 内的一条直线”则直线 a 可能与平面 α 平行也可能在平面 α 内；
故“直线 a/ 平面 α ” ⇒ “直线 a 平行于 α 内的一条直线”，反之不成立，
∴  “直线 a/ 平面 α ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于 α 内的一条直线．”
综上只有②④正确．
故答案为： C ．
7.【答案】 C
【解析】A选项，若 a⊥α ， b⊥a ，则 b//α 或 b⊂α ，A不符合题意；
B选项，若 a ， b⊂α ， a//β ， b//β ，当 a//b 时， α 与 β 可能相交，B不符合题意；
C选项，若 a//b ， b⊥β ，根据线面垂直的性质，可得 a⊥β ，又 a//α ，根据面面垂直的判定定理，可得 α⊥β ，C符合题意；
D选项，若 α∩β=b ， a⊂α ， a⊥b ，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出 a⊥β ，即不能推出 α⊥β .D不符合题意；
故答案为：C.
8.【答案】 C
【解析】由题意知， AM 在平面 A1B1C1D1 和平面 BB1C1C 上的投影分别为 A1M 和 BC1 ，取 A1D1 中点 E ，连 B1E ， B1C ，∵ B1E⊥A1M ， B1C⊥BC1 ，∴ B1E⊥AM ， B1C⊥AM ，

故 AM⊥ 平面 B1CE ，
所以 N 点的轨迹即为平面 B1CE 与正方体表面的交线，
取 D1D 中点 F ，连接 EF ， FC ，则 EF//B1C ，
∴ B1 ， E ， F ， C 四点共面，
∴ N 点的轨迹即为等腰梯形 B1EFC ，
由正方体棱长为2得 B1C=2EF=22 ， B1E=FC=5 ，
故轨迹长度为 25+32
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】如下图所示，取 CD 的中点 F ，连接 MF 、 BF ，

∵M 、 F 分别为 A1C 、 CD 的中点， ∴MF//A1D ，且 MF=12A1D ，易证四边形 BEDF 为平行四边形，则 BF//__DE ，由等角定理得 ∠MFB=∠A1DE ，由余弦定理可知 |BM| 为定值，A、B选项正确；
∵MF//A1D ， MF⊄ 平面 A1DE ， A1D⊂ 平面 A1DE ， ∴MF// 平面 A1DE ，同理可证 BF// 平面 A1DE ， ∵MF∩BF=F ，则平面 BMF// 平面 A1DE ， ∵BM⊂ 平面 BMF ， ∴BM// 平面 A1DE ，D选项正确；
易知 ΔADE 和 ΔBCE 均为等腰直角三角形，且 ∠AED=∠BEC=π4 ， ∴∠CED=π2 ，
∴DE⊥CE ，若 DE⊥A1E ，且 CE∩A1E=E ，可得出 DE⊥ 平面 A1CE ，
∵A1E⊂ 平面 A1CE ，则 DE⊥A1E ，这与 ∠A1ED=π4 矛盾，C选项错误.
故答案为：C.
二、填空题
10.【答案】 60°
【解析】连结 BD ， A1D ，

则在正方体中，易得 BD//B1D1 ，
因此 ∠A1BD 等于 A1B 与 B1D1 所成的角，
因为 A1B ， BD ， A1D 均为正方体面对角线，
所以 A1B=BD=A1D ，即三角形 A1BD 为等边三角形，
所以 ∠A1BD=60∘ ，
即 A1B 与 B1D1 所成的角等于 60° .
故答案为： 60°
11.【答案】 2
【解析】连接 PO ，则 PO∥SA ，
∴∠OPD 即为异面直线 SA 与 PD 所成的角，
又 SO⊥CD ， AB⊥CD ， SO∩AB=O ，
∴CD⊥ 平面 SAB ，
∴CD⊥OP ，
即 DO⊥OP ，
∴△OPD 为直角三角形，
∴tan∠OPD=ODOP=22=2 .
12.【答案】 ②
【解析】如下图，

若 AC⊥BD ，已知 CF⊥BD ，那么 BD⊥ 平面 ACF ，则 BD⊥AF ，这与 BD⊥AE 矛盾，点 E,F 不会重合，所以①不正确；若 AB⊥CD ，已知中 CD⊥BC ，则 CD⊥ 平面 ABC ，点 A 在平面 BCD 内的射影落在线段 BC 上，并且 AC=AD2−DC2 ，所以存在某个位置使 AB⊥CD ；所以②成立；若 AD⊥BC ，已知 BC⊥CD ，所以 BC⊥ 平面 ACD ，即 BC⊥AC ，那 AB>BC ，这与已知矛盾，所以③不正确。
13.【答案】 4
【解析】∵ △ABC 是直角三角形， ∠ABC=90° ， PA⊥ 平面 ABC ，
∴ AB⊥BC ， PA⊥BC ，
∵ AB∩PA=A ，∴ BC⊥ 平面 PAB ，
∴图中直角三角形有 △ABC （ ∠ABC 是直角 ）， △PAC （ ∠PAC 是直角）， △PAB （ ∠PAB 是直角）， △PBC （ ∠PBC 是直角），
∴图中直角三角形有4个，
故答案为4.
14.【答案】 ①④
【解析】对①,因为 M,O 为 BP,BA 的中点,故 MO 为三角形 BPA 的中位线,故 MO ∥平面 PAC .
故①正确.
对②,因为 PA⊆ 平面 MOB ,故②错误.
对③,因为 BC⊥AC ,故 OC 不会垂直于 AC ,故 OC 不垂直于平面 PAC .故③错误
对④, 因为 BC⊥AC , PA⊥ 面 ABC ,故 PA⊥BC .又 PA∩AC=A .
故 BC 平面 ⊥PAC ,又 BC⊆ 平面 PBC ,故平面 PAC⊥ 平面 PBC .故④正确.
故答案为①④
15.【答案】 23
【解析】由题意得，不妨设棱长为 2 ，如图， A1 在底面 ABC 内的射影为 △ABC 的中心，故 DA=233 ，由勾股定理得 A1D=4−43=263 ，过 B1 作 B1E⊥ 平面 ABC ，则 ∠B1AE 为 AB1 与底面 ABC 所成角，且 B1E=263 ，作 A1S⊥AB 于中点 S ，所以 A1S=3 ，所以 AB1=3+9=23 ，所以 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 sin∠B1AE=26323=23 ．


16.【答案】 ④
【解析】连接BD，B1D1 ， ∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，

又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立，
即不成立的结论是④。
17.【答案】 2
【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D ，连接 C1D,AD ，

则因为C是圆柱下底面弧 AB 的中点，
所以 AD//BC ，
所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角.
因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，
所以 C1D⊥ 圆柱下底面，所以 C1D⊥AD .
因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，
所以 C1D=2AD ，
所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 2 .
所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 2 .
故答案为: 2 .
三、解答题
18.【答案】 （1）证明：取 CC1 中点为 G ，连接 DG 、 EG ，

因为 ABCD−A1B1C1D1 是正方体，点 G 和 E 为所在棱中点，
所以 AD ∥ EG ， AD=EG ，
所以四边形 AEGD 为平行四边形，
所以 AE ∥ DG ，
在正方形 CDD1C1 中，点 G 和 F 为中点，
所以 C1F ∥ DG ，
所以 AE ∥ FC1 ，
又因为 AE⊄ 平面 BC1F ， C1F⊂ 平面 BC1F ，
所以 AE //平面 BC1F .

（2）解：因为 AE ∥平面 BC1F ，
所以 VA−BC1F=VE−BC1F=VF−BC1E ，
在四面体 F−BC1E 中，
S△BC1E=12BE⋅C1B1=12×1×2=1 ，
F 到平面 BC1E 的距离为2，
所以 VA−BC1F=VF−BC1E=13×1×2=23 .
19.【答案】 （1）证明： 证明：在△PBC中，E，F为BC和PC的中点，∴EF∥BP，∵EF⊄平面PBD，
PB⊂平面PBD，∴EF∥平面PBD.

（2）解：∵在△PBC中，E，F为BC和PC的中点，∴EF∥BP，∴异面直线EF与BD所成角为∠PBD.
设四边形ABCD的边长为1，则PD=AB=1，BD=2 ，
∵PD⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴PD⊥BD
在直角三角形PBD中tan∠PBD=PDBD=12=22.

20.【答案】 （1）连接 EF ， A1B ， D1C ，
∵E ， F 分别是 AB ， AA1 的中点，
∴EF//A1B ， A1B//D1C ，
∴EF//D1C ，
∴ 由两条平行线确定一个平面，得到 E ， C ， D1 ， F 四点共面．

（2）分别延长 D1F ， DA ，交于点 P ，
∵P∈DA ， DA⊂ 面 ABCD ，
∴P∈ 面 ABCD ．
∵F 是 AA1 的中点， FA//D1D ，
∴A 是 DP 的中点，
连接 CP ， ∵AB//DC ，
∴CP∩AB=E ，
∴CE ， D1F ， DA 三线共点于 P ．

21.【答案】 （1）解：取 AB 的中点 G ,连接 PG .

因为 AC⊥BC ,所以 ΔABC 的外心为 G .
因为 PA=PB ,所以 PG⊥AB .
又平面 PAB⊥ 平面 ABC ,平面 PAB∩ 平面 ABC=AB ,所以 PG⊥ 平面 ABC ,
所以 O 在 PG 上.
因为 ΔPAB 是等边三角形,所以 O 是线段 PG 上靠近点 G 的一个三等分点.
由题意得 34AB2=33 ,解得 AB=23 ,
所以球 O 的半径 R=32×AB×23=2 ,球 O 的表面积为 4π×R2=16π .

（2）证明：因为 O 在 PG 上,所以 PO⊥ 平面 ABC ,
又 PO⊂ 平面 POC ,所以平面 POC⊥ 平面 ABC .
连接 CG ,则 CG⊥AB ,又平面 PAB⊥ 平面 ABC ,所以 CG⊥ 平面 PAB ,
又 CG⊂ 平面 POC ,所以平面 POC⊥ 平面 PAB .

（3）解：因为 AB=23 ,所以 C 到平面 PAB 的距离 H=3 .
设 CD=λCA(0<λ<1) , C 到平面 DEF 的距离为 ℎ .
因为平面 PAB∥ 平面 DEF ,所以 ΔDEF∼ΔABP ,则 ΔDEF 的面积为 33λ2 .
又 ℎ=3λ ,所以 O 到平面 DEF 的距离为 3−3λ ,
所以四面体 ODEF 的体积 V=VO−DEF=13×33λ2×(3−3λ)=3λ2(1−λ) .
设 f(λ)=3λ2(1−λ)(0<λ<1) , f′(λ)=3λ(2−3λ) ,
当 00 ；当 23 所以 f(λ)max=f(23)=49 ,
即四面体 ODEF 的体积的最大值为 49 .