高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试达标测试

人教版新课标必修二第四章

圆与方程

一、单选题

1.（2020高二上·宿州期中）圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（    ）           

A. 相离                                     B. 相交                                     C. 外切                                     D. 内切

2.（2019高二上·瓦房店月考）过点 作圆 的弦，其中最短的弦所在的直线方程为(    )           

A.               B.           C.            D. 

3.（2021高二下·安徽月考）过圆 内一点 做直线交圆O于A  ， B两点，过A  ， B分别作圆的切线交于点P  ， 则点P的坐标满足方程（    ）           

A.              B.              C.           D.   

4.（2019高二上·北京期中）点 是圆 上的动点，它与定点 所连线段的中点的轨迹方程是（    ）           

A.                 B.            

C.                D. 

5.（2020高二上·上海月考）以 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ，且满足 ，则点 的轨迹是           

A.直线           B.圆             C.椭圆              D.双曲线

6.（2019·新乡模拟）若圆 与圆 的公共弦长为 ，则圆 的半径为（   ）           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

7.（2019高三上·清远期末）平行于直线 ，且与圆 相切的直线的方程是（   ）           

A.          B.           C.             D. 

8.已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为  ， 若  ， 当时，动点的轨迹为（  ）

A. 圆                                    B. 椭圆                                    C. 双曲线                                    D. 抛物线

9.（2020高二上·郫县期中）已知实数x，y满足 ，则 的最大值为（    ）           

A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 

二、填空题

10.（2020高二上·四川期中）圆 与圆 的位置关系是________.   

11.（2020高三上·富阳月考）过 上一点 作直线与 相切于 ， 两点.当 时，切线长 为________；当 最小时， 的值为________.   

12.（2019高二上·阳江月考）动点P与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，则动点P的轨迹方程是________.   

13.（2021·钦州模拟）在平面直角坐标系 中，已知直线 上存在点P  ， 过点P作圆 的切线，切点分别为 ，且 ，则实数k的取值范围为             .   

14.（2020高二上·辽源月考）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆 有公共点，则 的最小值是________   

15.（2021高三上·南通开学考）在平面直角坐标 中，已知 ， ， 是圆 上的两个动点，满足 ，则 面积的最大值是       ．    

16.（2019·通州模拟）在平面直角坐标系 中， 的外接圆方程为 ， ， 边的中点 关于直线y=x+2的对称点为 ，则线段 长度的取值范围是________．   

三、解答题

17.（2020高二上·上海月考）已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切，   

（1）求该圆的方程；   

（2）若点P在圆C上运动，求 的最大值和最小值.   

18.（2019高一下·惠州期末）已知圆 ： 与圆 ： ．   

（1）求两圆的公共弦长；   

（2）过平面上一点 向圆O和圆B各引一条切线，切点分别为 ，设 ，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值．

19. 已知A(0,1)，B(2,1)，C( 1,2)能否定圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系.   

20.（2019高二上·九台月考）已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 ， 两点．   

（1）求圆 的方程．   

（2）当 时，求直线 的方程．（用一般式表示）   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C  

【解析】两圆的标准方程为 ，和 ，

对应圆心坐标为O1（1，2），半径为 ，和圆心坐标O2 ，半径为 ，

则圆心距离|O1O2| ，则|O1O2| ，

即两圆外切，

故答案为：C

 
2.【答案】 D  

【解析】圆 的圆心为 .而 ，所以点 在圆 内，故过点 作圆 的弦，其中最短的弦与 垂直，直线 的斜率为 ，所以最短的弦所在直线的斜率为 .所以最短的弦所在的直线方程为 ，即 .

故答案为：D

3.【答案】 A  

【解析】设 ，则以 为直径的圆 ，即      ①

因为 是圆O的切线，所以 ，所以A  ， B在圆M上，

所以 是圆O与圆M的公共弦，又因为圆          ②，

所以由①-②得直线 的方程为： ，

又点 满足直线 方程，所以 ，即 。

故答案为：A

 
4.【答案】 A  

【解析】设其中点坐标为 ，因为其为点P与定点 的中点，

所以P的坐标为

又因为点 是圆 上的动点

所以 ，即

故答案为：A

5.【答案】 A  

【解析】因为    

同理：

又因为 ，所以

则 ，即    

设 ，则 为直线

故答案为：A

 
6.【答案】 D  

【解析】联立 ，得 ，因为圆 的直径为 ，且圆 与曲线 的公共弦长为 ，所以直线 经过圆 的圆心 ，则 ，所以圆 的半径为

故答案为：D

【解析】圆 的圆心为原点 ，半径为2，

到 的距离为 ，

直线 与圆 不相切，排除选项 ；

到  的距离为 ，

与圆 相切，

且 与 平行，排除选项 , 选项 符合题意，

故答案为：C.

8.【答案】 C  

【解析】设 则,所以,所以,即,变形为,又因为,故动点的轨迹为双曲线.选C.

9.【答案】 B  

【解析】如图所示：

设 为圆 上的任意一点，

则点P到直线 的距离为 ，

点P到原点的距离为 ，

所以 ，

设圆 与直线 相切

则圆心到直线的距离： ，解得 ，

所以 的最小值为 ，最大值为 ，

所以 ，

即

故 的最大值为 ，

故答案为：B

二、填空题

10.【答案】 外切  

【解析】 圆 ，

故圆心为： ，半径 ，

圆   ，

故圆心为： ，半径 ，

，又 ，

， 圆 与 外切.

故答案为：外切.

 
11.【答案】 3；1  

【解析】（1）当 时， ，即 ，

,

;（2）

如图， ，

，

，

则当 垂直于直线时， 取得最小值为 ，

此时 取得最小值为2，且 的坐标为 ，即 .

12.【答案】   

【解析】设 ，则 ，化简得： ，

故答案为： ．

13.【答案】   

【解析】取 的中点 ,如图所示：

根据圆的切线性质： ，所以可得 ，所以 ，

由 ，

所以

由

所以 ，则

点 到直线 的距离为

则 或

所以

故答案为：

 
14.【答案】   

【解析】由 可得 ，所以圆 的圆心 ，半径为 ，又

直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆 有公共点，设圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，即 ，解得 ，则 的最小值是 .

故答案为：

15.【答案】    

【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，

， 在弦 的垂直平分线上，

若 过圆心， 则 ，

若 不过圆心，设圆心 到 的距离为 ， ；

，

， ，

，

记 ，

则 ，

故 在 上为增函数，在 上为减函数，

， 。

故答案为： 。

 
16.【答案】   

【解析】由 ，知 ，所以 ，

所以点 的轨迹方程为 .

则M在以O为圆心，半径为1的圆上，

设 ， ，

因为 ， 关于直线 的对称，

所以 解得

代入 得 ，

则点N的轨迹为以（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，

设P（﹣2，2），则|OP|＝2 ，

则有2 1≤|ON|≤2 1，

所以线段 长度的取值范围是 .

三、解答题

17.【答案】 （1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r，

即 ，所以圆的半径为1.

故圆的标准方程为： .

（2）设 ，即 ， 

因为点P在圆C上运动，

只需 与 有公共点，

即圆心 到直线 的距离 即可.

∴ ，解得：

故 的最大值为 ，最小值为 . 

18.【答案】 （1）解：由 ， 相减得两圆的公共弦所在直线方程为 ： ， 设(0,0)到 的距离为 ，则 所以，公共弦长为 所以，公共弦长为 .
（2）证明：由题设得： 化简得： 配方得： 所以，存在定点 使得Q到M的距离为定值，且该定值为 .  

19.【答案】 解：由于 ，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定圆.  

设经过A，B，C三点的圆的方程为 .

则 ，解得 ，所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是 ，把点D的坐标(3，4)代入圆的方程的左边，得 .所以点D在经过A，B，C三点的圆上.所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为

20.【答案】 （1）解：由题意知：点 到直线 的距离为圆 的半径

圆 的方程为：

（2）解：连接 QA ，则由垂径定理可知： 且 在 中，由勾股定理知： 当动直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=-1 ，显然满足题意；

当动直线 l 的斜率存在时，设动直线 l的方程为：

由点 到动直线 l 的距离为 1 得： ，解得：

此时直线 l 的方程为：

综上，直线 l 的方程为： 或 x=-1