专题5.3 三角函数的应用（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题5.3  三角函数的应用（特色专题卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2021秋•海淀区期中）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m时，下列描述正确的是（　　）

（参考数据：7π≈21.991）

A．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m 

B．点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.15m 

C．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.26m 

D．点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m

2．（2021秋•海淀区校级月考）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t＝0时刻刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（　　）（结果精确到0.1米）

A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米

3．（2021秋•海淀区校级月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表

已知港口的水的深度随时间变化符合函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B．现有一条货船在吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（　　）

A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时

4．（2020春•焦作期中）如图为一直径为6m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系式y＝Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下），则有（　　）

A．，A＝3 B．，A＝3 C．，A＝6 D．，A＝6

5．（2019秋•丰台区期末）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为ysinωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（　　）

A．200 B．400 C．200π D．400π

6．（2018春•厦门期末）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h＝2sin（t）确定，下列结论正确的是（　　）

A．小球的最高点和最低点相距2厘米 

B．小球在t＝0时的高度h＝1 

C．每秒钟小球往复运动的次数为2π 

D．从t＝1到t＝3，弹簧长度逐渐变长

7．（2017•庐阳区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）﹣f（x2）的最大值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

8．（2021•全国Ⅰ卷模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|），当t＝100时，|PA|＝（　　）

A．6 B．6 C．6 D．3（）

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021•唐山开学）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的．已知纯音的数学模型是函数y＝Asinωt．我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（　　）

A．f（x）的最大值为 

B．2π为f（x）的最小正周期 

C．为曲线y＝f（x）的对称轴 

D．（π，0）为曲线y＝f（x）的对称中心

10．（2021•深圳模拟）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（　　）

A．摩天轮离地面最近的距离为4米 

B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝﹣60cos（t）+68 

C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30 

D．ヨt1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

11．（2021•南通模拟）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋．一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m．安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），如表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．

若选用一个三角函数f（x）来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（　　）

A． 

B． 

C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 

D．该货船在13：00至17：00期间可以进港

12．（2021秋•河北月考）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作 versinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作coversθ，则（　　）

A．函数f（x）＝versinx﹣coversx在上单调递增 

B．若，则 

C．若g（x）＝versinx•coversx，则g（x）的最小值为0 

D．若h（x）＝versin2x﹣coversx，则h（x）的最小值为

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021•思明区校级模拟）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P第一次到达最高点需要 　　秒．

14．（2021•海安市开学）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为 　　米．

15．（2021秋•安徽月考）正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入．sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割secα，余割cscα．已知t＞0，且sec2x+tcsc2x≥16对任意的实数x（x，k∈Z）均成立，则t的最小值为 　　．

16．（2021春•广东期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示）．筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为h0，4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为h1，若h1﹣h0r，则直线OP0与水面的夹角为 　　．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021春•郑州期中）为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时刻t（0≤t≤24）而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：

（1）从函数y＝ax+b和函数y＝Asin（ωx+φ）+b中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；

（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）．

18．（2021•临汾模拟）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y＝Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π＜φ＜π），画出函数图象，并求出函数解析式；

（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

参考数据：1.7．

19．（2020秋•蓬江区期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．

（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

20．（2021春•恩施市校级月考）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）．

（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；

（2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水筒W在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为2米．再经过分钟后，问盛水筒W是否在水中？如果在，求距水面的距离，如果不在，说明理由．

21．（2020秋•福州期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；

（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？

（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．

22．（2021春•东城区期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设∠QON＝φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．

（1）求h与t的函数解析式；

（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；

（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．

（参考数据：）