专题5.2 三角恒等变换（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份专题5.2 三角恒等变换（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版），共14页。试卷主要包含了计算值为，设函数f=sin+cs，则，故A选项说法正确等内容，欢迎下载使用。

专题5.2 三角恒等变换（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•杭州期中）若sinα+cosα=23，则sin2α＝（　　）
A．49 B．-49 C．59 D．-59
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为sinα+cosα=23，
所以两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=49，可得1+sin2α=49，
则sin2α=-59．
故选：D．
2．（2021秋•卡若区校级期中）计算(cosπ12+sinπ12)(cosπ12-sinπ12)值为（　　）
A．-32 B．12 C．22 D．32
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．
【解答】解：(cosπ12+sinπ12)(cosπ12-sinπ12)=cos2π12-sin2π12=cosπ6=32；
故选：D．
3．（2021秋•肇东市校级期中）若tanα＝2，则cos2α1+sin2α=（　　）
A．34 B．12 C．-13 D．-35
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】解：若tanα＝2，则cos2α1+sin2α=cos2α-sin2αsin2α+2sinαcosα+cos2α=1-tan2αtan2α+2tanα+1=-13；
故选：C．
4．（2021秋•成都月考）已知角θ的终边过点A（6，a），且sin（θ﹣3π）=45，则tan（2θ-π4）＝（　　）
A．1731 B．-3117 C．317 D．-731
【分析】利用诱导公式求出sinθ，根据角θ的终边过点A（6，a）可知cosθ为正数，计算cosθ，从而求得tanθ，tan2θ，将所求式子用两角差正切公式展开，代入运算即可．
【解答】解：因为sin（θ﹣3π）=45，
所以sin（θ+π）=45，
则sinθ=-45，
由于角θ的终边过点A（6，a），
A点位于y轴右侧，
故由三角函数定义可知，cosθ＞0，
所以cosθ=35，
所以tanθ=-43，
所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2×(-43)1-(-43)2=247，
所以tan（2θ-π4）=tan2θ-11+tan2θ=247-11+247=1731，
故选：A．
5．（2021秋•疏勒县校级期中）化简12+1212+12cos2α(π＜α＜3π2)的结果为（　　）
A．sinα2 B．-sinα2 C．cosα2 D．-cosα2
【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式，三角函数的在各个象限中的符号，计算求得结果．
【解答】解：∵π＜α＜3π2，∴12+1212+12cos2α=12+1212+12(2cos2α-1)=12+12⋅|cosα|
=12-12cosα=12-12(1-2sin2α2)=|sinα2|＝sinα2，
故选：A．
6．（2021秋•濂溪区校级月考）若函数f(x)=3sinxcosx+cos2x-12，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π2
B．f（x）的图像的一条对称轴方程为x=512π
C．f（x）的一个对称中心为(π6，0)
D．f（x）的单调递增区间为[kπ-π3，kπ+π6](k∈Z)
【分析】由二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式，化简f（x），分别由三角函数的周期公式和对称轴、对称中心和单调区间，可得结论．
【解答】解：函数f(x)=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x+12cos2x＝sin（2x+π6），
可得f（x）的最小正周期为T=2π2=π，故A错误；
由f（5π12）＝sin（5π6+π6）＝0不为最值，故B错误；
由f（π6）＝sin（π3+π6）＝1≠0，故C错误；
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-π3≤x≤kπ+π6，
则f（x）的增区间为[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z），故D正确．
故选：D．
7．（2021秋•浦江县校级月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2α＝（　　）

A．4 B．2 C．32 D．52
【分析】根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出tanα，再进一步借助于三角公式求解即可．
【解答】解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：12×π×（AC2）2=π⋅(AC)28，12×π×（AB2）2=π⋅(AB)28，
由面积之比为14，得：(AC)2(AB)2=14，即ACAB=12，
在Rt△ABC中，tanα＝tan∠ABC=ACAB=12，
故可得cos2α=11+tan2α=11+(12)2=45，sin2α=2tanα1+tan2α=2×121+(12)2=45．
则4cos2α+sin2α＝4．
故选：A．

8．（2021秋•蒲城县期中）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为355113，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1-2cos27°π16-π2的值为（　　）
A．18 B．-18 C．8 D．﹣8
【分析】将π＝4sin52°代入1-2cos27°π16-π2中，结合三角恒等变换化简可得结果．
【解答】解：将π＝4sin52°代入1-2cos27°π16-π2中，
得1-2cos27°π16-π2=-cos14°4sin52°16-16sin252°=-cos14°16sin52°cos52°=-cos14°8sin104°=-cos14°8sin(90°+14°)=-cos14°8cos14°=-18，
故选：B．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021秋•沙坪坝区校级月考）下列各式中，值为32的是（　　）
A．1-cos12002
B．cos2π12-sin2π12
C．cos15°sin45°﹣sin15°cos45°
D．tan1501-tan150
【分析】利用二倍角公式和正弦的差角公式进行运算即可．
【解答】解：对于A，原式=sin260°=32，故A正确；
对于B，原式＝cosπ6=32，故B正确；
对于C，原式＝sin（45°﹣15°）＝sin30°=12，故C错误；
对于D，原式=12×2tan15°1-tan15°=12tan30°=36，故D错误；
故选：AB．
10．（2021秋•广陵区校级月考）设函数f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4)，则（　　）
A．y＝f（x）的最小值为-2，其周期为π
B．y＝f（x）的最小值为﹣2，其周期为π2
C．y＝f（x）在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称
D．y＝f（x）在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x=π2对称
【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4），利用余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4）=2sin（2x+π2）=2cos2x，
所以y＝f（x）的最小值为-2，其周期为T=2π2=π，故A正确；B错误，
令2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），可得kπ≤x≤π2+kπ（k∈Z），当k＝0时，x∈（0，π2），可得函数y＝f（x）在（0，π2）单调递减，
令2x＝kπ，k∈Z，可得x=12kπ，（k∈Z），当k＝1时，x=π2，可得y＝f（x）关于x=π2对称，故C错误，D正确．
故选：AD．
11．（2021秋•河北月考）设α∈（0，π2），β∈（π2，π），若1+cosα+sinα1-cosα+sinα=tanβ2，则有（　　）
A．sinα＝sinβ B．cosα＝﹣cosβ
C．sinα＝cosβ D．sin2α2+sin2β2=1
【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式化简已知等式可得cos（α2+β2）＝0，结合角的范围可求α2+β2=π2，可得α＝π﹣β，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可逐项判断得解．
【解答】解：因为α∈（0，π2），β∈（π2，π），
可得α2∈（0，π4），β2∈（π4，π2），α2+β2∈（π4，3π4），
若1+cosα+sinα1-cosα+sinα2cos2α2+2sinα2cosα22sin2α2+2sinα2cosα2=1tanα2=tanβ2，
则cosα2sinα2=sinβ2cosβ2，可得cos（α2+β2）＝0，
所以α2+β2=π2，可得α＝π﹣β，
所以sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，故A正确；
cosα＝cos（π﹣β）＝﹣cosβ，故B正确；
因为α∈（0，π2），β∈（π2，π），sinα＞0，cosβ＜0，故C错误；
sin2α2+sin2β2=sin2α2+sin2（π2-α2）＝sin2α2+cos2α2=1，故D正确．
故选：ABD．
12．（2021•A卷模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，3），若将点A绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点B（x0，y0），记f（θ）＝x0+y0，g（θ）＝2x0y0，则下列结论错误的有（　　）
A．f（θ）＝22cos（π12-θ）
B．不存在θ，使得f（θ）与g（θ）均为整数
C．f2（θ）﹣8g（θ）＝2
D．存在某个区间（a，b）（a＜b），使得f（θ）与g（θ）的单调性相同
【分析】利用三角函数的定义得出B点坐标，进而得出f（θ）与g（θ）的函数解析式，结合三角函数的图象与性质判断选项正误．
【解答】解：由A（1，3）知A为角π3终边上一点，所以B（2cos(π3-θ)，2sin(π3-θ)）．
所以f（θ）=2sin(π3-θ)+2cos(π3-θ)=22sin(π3-θ+π4)=22sin(7π12-θ)=22cos(π12-θ)．故A选项说法正确．
g（θ）=4sin(π3-θ)cos(π3-θ)=2sin(2π3-2θ)．当θ=π3时，f（θ）＝2，g（θ）＝0，故B选项说法错误．
当θ=π12时，f（θ）=22，g（θ）＝2，f²（θ）﹣8g（θ）＝﹣8≠2，故C选项错误．
对于g（θ），当-π2＜2π3-2θ＜π2，即π12＜θ＜7π12时，g（θ）单调递减；
对于f（θ），当-π＜π12-θ＜0，即π12＜θ＜13π12时，f（θ）单调递减；
所以f（θ）与g（θ）都在区间(π12，7π12)上单调递减，D选项说法正确．
故选：BC．

三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•广东期中）已知3sinθ-cosθ=223，则cos(θ+π3)=　　．
【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sin（θ-π6）的值，进而利用诱导公式即可求解．
【解答】解：因为3sinθ-cosθ=223，
所以2sin（θ-π6）=223，可得sin（θ-π6）=23，
则cos(θ+π3)=cos[π2+（θ-π6）]＝﹣sin（θ-π6）=-23．
故答案为：-23．
14．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若3sinα-2cosα5cosα+3sinα=411，则tan（α+π4）＝　　．
【分析】将tanα=sinαcosα代入条件，化简求得tanα，再将所求式子用两角和的正切公式展开，代入求值即可．
【解答】解：因为tanα=sinαcosα，
所以sinα＝tanαcosα，
所以3sinα-2cosα5cosα+3sinα=3tanα-25+3tanα=411，
解得tanα＝2，
tan（α+π4）=1+tanα1-tanα=1+21-2=-3，
故答案为：﹣3．
15．（2021秋•罗山县月考）若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（θ+π6），sin（θ+π6））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为 　　．
【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（θ+π6），再利用诱导公式可得θ＝kπ+5π12，k∈Z，从而得出结论．
【解答】解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（θ+π6），sin（θ+π6））关于y轴对称，
∴cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（θ+π6），
∴θ＝2kπ+π﹣（θ+π6），即θ＝kπ+5π12，k∈Z，
则绝对值最小的θ值为5π12，
故答案为：5π12．
16．（2021秋•沈阳月考）设α，β为锐角，且2α﹣β=π2，tanαcosβx+sinβ=1，则x为　　．
【分析】根据题意由三角恒等变换和二倍角公式可的结果．
【解答】解：∵2α-β=π2，∴β=2α-π2，
∴tanαcos(2α-π2)x+sin(2α-π2)=1即tanαsin2αx-cos2α=1，
∴x＝cos2α+tanαsin2α＝cos2α+2sin2α＝1，
故答案为：1．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021秋•朝阳区期中）已知函数f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α（ω＞0，α∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）解析式的两个合理条件作为已知，求：
（Ⅰ）函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）函数f（x），x∈[-π2，π2]的单调递增区间，
条件①：f（x）的最大值为1；
条件②：f（x）的一条对称轴是直线x=-π12ω；
条件③：f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
【分析】（I）由三角函数的恒等变换，对解析式进行化简，再选则①③得函数解析式；
（II）由定义域的范围，求函数的增区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α
＝cos2ωx+3sin2ωx+α+1＝2sin（2ωx+π6）+α+1，
当条件①③时，则2+α+1=1T2=2π2ω×12=π2，解得ω＝1，＝﹣2，
所以f（x）＝2sin（2x+π6）﹣1．选②时求不出ω，
所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+π6）﹣1；
（Ⅱ）当x∈[π2，π2]时，2x+π6∈[-5π6+7π6]，
令t＝2x+π6，则y＝sint在[-5π6，-π2]递减，[-π2，π2]递增，[π2，7π6]递减，
当t=π2，解得x=π6，令t=-π2，解得x=-π3，
∴当x∈[-π2，π2]时，单调增区间为[-π3，π6]．
18．（2021秋•姑苏区校级月考）（1）已知﹣π＜x＜0，sin(π+x)-cosx=-15，求sin2x+2sin2x1-tanx的值．
（2）已知α，β∈（0，π），且tan(α-β)=12，tanβ=-17，求2α﹣β的值．
【分析】（1）由题意求出sinx+cosx的值，两边平方求出2sinxcosx的值，再利用平方关系求sinx﹣cosx的值，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求即可得解．
（2）利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值，求出tan（2α﹣β）＝1，再确定﹣π＜2α﹣β＜0，即可求2α﹣β的值．
【解答】解：（1）由sin（π+x）﹣cosx=-15，得sinx+cosx=15，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=125，整理得2sinxcosx=-2425，
∴（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx=4925，
由﹣π＜x＜0，知sinx＜0，
又sinx+cosx＞0，
∴cosx＞0，
∴sinx﹣cosx＜0，
∴sinx﹣cosx=-75，
∴sin2x+2sin2x1-tanx=2sinx(cosx+sinx)1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=-2425×15-(-75)=-24175．
（2）∵tan(α-β)=12，∴tanα-tanβ1+tanαtanβ=12，
而：tanβ=-17，
∴tanα+171-17tanα=12，解得tanα=13，
∴tan2α=2tanα1-tan2α=34，
∴tan（2α﹣β）=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1，
∵tanα=13＞0，α∈（0，π），∴0＜α＜π2，0＜2α＜π，
∵tan2α=34＞0，∴0＜2α＜π2，
∵tanβ=-17＜0，β∈（0，π），∴π2＜β＜π，
∴﹣π＜2α﹣β＜0，
∴2α﹣β=-3π4．
19．（2021秋•上月考）已知π4＜α＜π2，f(α)=2cos(π2+α)⋅1-sin2αtan(α+π)⋅2+2cos2α．
（1）化简f（α）；
（2）若f(α)=-15，求tan2α的值．
【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．
（2）由范围π4＜α＜π2，可得sinα＞cosα＞0，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：（1）f(α)=-2sinα⋅sin2α-2sinα⋅cosα+cos2αtanα⋅2⋅2cos2α=-sinα⋅|sinα-cosα|sinαcosα|cosα|，
∵π4＜α＜π2，
∴f(α)=-sinα⋅(sinα-cosα)sinαcosα⋅cosα=cosα-sinα．
（2）∵π4＜α＜π2，
∴sinα＞cosα＞0，
由cosα-sinα=-15sin2α+cos2α=1，可得sinα=45cosα=35，
∴tanα=sinαcosα=43，
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-169=-247．
20．（2021秋•浙江期中）已知函数f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)⋅sin(π6-x)，x∈R．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）在x∈[0，π2]上的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x-π6）+1，进而利用正弦函数的周期性和单调性即可求解．
（Ⅱ）由题意可求范围2x-π6∈[-π6，5π6]，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)⋅sin(π6-x)=1+cos2x﹣23（12sinx+32cosx）（12cosx-32sinx）=32sin2x-12cos2x+1＝sin（2x-π6）+1，
可得函数y＝f（x）的最小正周期T=2π2=π，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得单调递增区间为：[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z；
（Ⅱ）因为x∈[0，π2]，
所以2x-π6∈[-π6，5π6]，sin（2x-π6）∈[-12，1]，
可得f（x）＝sin（2x-π6）+1∈[12，2]，即函数y＝f（x）在x∈[0，π2]上的取值范围为[12，2]．
21．（2021秋•东城区校级期中）已知函数f（x）=3cos(2x-π3)-2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，0]上的最小值为﹣1，求m的最大值．
【分析】（Ⅰ）先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求，
（Ⅱ）根据题意即可得出，存在x1∈[m，0]，使sin（2x1+π3）＝−1，从而得出x1＝kπ−5π12，k∈Z，这样即可求出m的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=3cos(2x-π3)-2sinxcosx
=3（12cos2x+32sin2x）﹣sin2x，
=32cos2x+12sin2x，
＝sin（2x+π3），
∴f（x）的最小正周期T=2π2=π．
（Ⅱ）当f（x）在区间[m，0]上的最小值为﹣1时，存在x1∈[m，0]，使sin（2x1+π3）＝−1，
∴2x1+π3=2kπ−π2，k∈Z，
解得x1＝kπ−5π12，k∈Z，则k＝0时，存在（x1）max＝−5π12，
∴m的最大值为-5π12．
22．（2021秋•贵溪市校级月考）已知函数f(x)=sin2x-23sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若任意x∈[0，π6]时，f（x）≤m恒成立，求m范围．
【分析】（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简f（x），再由周期公式，可得所求；
（2）由x的范围，可得f（x）的最大值，由不等式恒成立思想可得m不小于最大值．
【解答】解：（1）函数f(x)=sin2x-23sin2x=sin2x-3（1﹣cos2x）
＝sin2x+3cos2x-3=2sin（2x+π3）-3，
则f（x）的最小正周期为T=2π2=π；
（2）由x∈[0，π6]，可得2x+π3∈[π3，2π3]，
sin（2x+π3）∈[32，1]，
则f（x）的最大值为f（π12）＝2-3，
由任意x∈[0，π6]时，f（x）≤m恒成立，
可得m≥f（x）max＝2-3，
则m的取值范围是[2-3，+∞）．