专题5.1 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题5.1 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021•高唐县校级开学）要得到y＝cos（12x+π6）的图象，只需将y＝sin12x的图象（　　）
A．向左平移π3个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移4π3个单位长度
D．向右平移4π3个单位长度
【分析】由题意利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：只需将y＝sin12x＝cos（x2-π2）的图象向左平移4π3个单位长度，即可得到y＝cos（12x+π6）的图象，
故选：C．
2．（2021秋•河西区校级月考）如图所示的是函数y＝2sin（ωx+φ）（|φ|＜π）的部分图象，那么（　　）

A．ω=1011，φ=π6 B．ω=1011，φ=-π6
C．ω＝2，φ=π6 D．ω＝2，φ=-π6
【分析】由题意，根据顶点坐标求出A，由特殊点的坐标出φ，由五点法作图求出ω，可得结论．
【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，2sinφ＝1，φ为锐角，∴φ=π6．
集合五点法作图，可得ω×11π12+π6=2π，∴ω＝2，故f（x）＝2sin（2x+π6），
故选：C．
3．（2021秋•海淀区期中）将函数y＝sin2x的图像向右平移π6个单位，得到函数f（x）的图像，则下列说法正确的是（　　）
A．f(x)=sin(2x-π6)
B．x=-π3是函数f（x）的图像的一条对称轴
C．f（x）在[-π6，π3]上是减函数
D．f（x）在[-π12，5π12]上是增函数
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得到f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图像向右平移π6个单位，得到函数f（x）＝sin（2x-π3）的图像，故A错误；
令x=-π3，求得f（x）＝0，可得f（x）的图像关于点（-π3，0）对称，故B错误；
在[-π6，π3]上，2x-π3∈[-2π3，π3]，函数f（x）没有单调性，故C错误；
在[-π12，5π12]上，2x-π3∈[-π2，π2]，函数f（x）单调递增，故D错误，
故选：D．
4．（2021秋•河南月考）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．f（x）的最小正周期为2π
B．f(x)=2sin(12x-π3)
C．点(10π3，0)是f（x）图象的一个对称中心
D．直线x＝2π是f（x）图象的一条对称轴
【分析】由图像确定出解析式，在利用y＝Asin（ωx+φ）的性质求出周期和对称轴与对称中心，即可选出正确选项．
【解答】解：由图像可以看出T4=π，T＝4π=2πω⇒ω=12，选项A错误．12×π3+φ=π2，φ=π3．故函数解析式f（x）＝2sin（12x+π3），选项B错误．12x+π3=kπ，x=2kπ-2π3，当k＝2时，x=12π3-2π3=10π3，故选项C正确．12x+π3=kπ+π2，x=2kπ+π3，无论k取何值，x都不可能为2π，故选项D错误．
故选：C．
5．（2021秋•渝水区校级月考）若将函数y＝sin（3x+φ）的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点（π3，0）对称，则|φ|的最小值是（　　）
A．π4 B．π3 C．π2 D．3π4
【分析】先利用图象变换的法则求出平移后函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出所得函数的对称中心，进而求得|φ|的最小值．
【解答】解：将函数y＝sin（3x+φ）的图象向右平移π4个单位后得到的函数解析式为y＝sin（3x-3π4+φ）
∵y＝sin（3x-3π4+φ）的图象关于点（π3，0）对称，
∴3×π3-3π4+φ＝kπ，（k∈Z）
∴φ＝kπ-π4，
∴|φ|的最小值是π4，
故选：A．
6．（2021秋•谯城区校级月考）已知函数f(x)=Ksin(ωx+φ)(K＞0，0＜ω＜10，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，32)，B(7π24，-1)，则将函数f（x）图象向左平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（　　）

A．y=sin(2x+5π12) B．y=sin(8x+5π12)
C．y=sin(2x+2π3) D．y=sin(8x+2π3)
【分析】先利用部分函数图像确定出y＝ksin（ωx+φ）的解析式，在利用图像变换确定出解析式，即可确定正确选项．
【解答】解：由已知函数f（x）过点A(0，32)，B(7π24，-1) 且由图像可以看出最低点是﹣1，所以K＝1．
f（0）＝sinφ=32，可得φ=π3．f（7π24）＝sin（7π24ω+π3）＝﹣1⇒7π24ω+π3=3π2，计算可得ω＝4，故
f（x）＝sin（4x+π3），再将该函数向左平移π12，得y＝sin（4（x+π12）+π3）＝sin（4x+2π3），再将该函数横坐标变为原来的2倍，则该函数变为y＝sin（2x+2π3）．
故选：C．
7．（2021秋•10月份月考）将函数y＝cos2x图象上所有的点向右平移π8个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于点(π8，0)对称
C．f（x）的图象关于直线x=5π8对称
D．f（x）在[0，π4]上单调递增
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：将函数y＝cos2x图象上所有的点向右平移π8个单位长，得到函数f（x）＝cos（2x-π4）的图象；
对于A：函数的最小正周期为π，故A错误；
对于B：当x=π8时，f（π8）＝1，故B错误；
对于C：当x=5π8时，f（5π8）＝cos（5π4-π4）＝﹣1，故C正确；
对于D：当x∈[0，π4]时，2x-π4∈[-π4，π4]，故函数在该区间上不单调，故D错误．
故选：C．
8．（2021秋•江西月考）将函数y＝2cos（2x+π6）的图象向右平移π6个单位长度后，再将其纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y＝asinx+bcosx的图象，则a+b＝（　　）
A．3+1 B．3+12 C．2 D．3-1
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出a和b的值，进一步求出结果．
【解答】解：函数y＝2cos（2x+π6）的图象向右平移π6个单位长度后，得到：y＝2cos（2x-π6），再将其纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2cos（x-π6）=3cosx+sinx，
故a=3，b=1；
故选：A．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021秋•峨山县校级期中）函数f（x）＝3sin（2x-π3）的图象为C，则以下结论中正确的是（　　）
A．图象C关于直线x=π12对称
B．图象C关于点（2π3，0）对称
C．函数f（x）在区间（-π12，5π12）内是增函数
D．由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C
【分析】利用正弦函数f（x）＝3sin（2x-π3）的性质，对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：∵f（x）＝3sin（2x-π3），
对于A：由2x-π3=kπ+π2（k∈Z）得：x=kπ2+5π12（k∈Z），
∴f（x）＝3sin（2x-π3）的对称轴方程为：x=kπ2+5π12（k∈Z），
当k＝0时，x=5π12，k＝﹣1时，x=-π12，
∴图象C关于直线x=π12对称是错误的，即A错误；
对于B：∵f（2π3）＝3sin（2×2π3-π3）＝0，
∴图象C关于点（2π3，0）对称，即B正确；
对于C：由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2得：kπ-π12≤x≤kπ+5π12（k∈Z），
∴f（x）＝3sin（2x-π6）的增区间为[kπ-π12，kπ+5π12]（k∈Z），
当k＝0时，[-π12，5π12]为其一个增区间，故C正确；
对于D：将y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到y＝3sin2（x-π3）＝3sin（2x-2π3）≠3sin（2x-π3）＝f（x），故D错误．
综上所述，BC正确．
故选：BC．
10．（2021秋•肇庆月考）函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象
B．f（x）的图象的一条对称轴可能为直线x=-π6
C．f（x）在区间[17π6，23π6]上单调递增
D．f（x）的图象关于点（4π3，0）对称
【分析】先根据函数图象求得其解析式，然后对选项逐一进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，34T＝[5π6-(-2π3)]=3π2，
所以T＝2π，
所以ω＝1，
因为图象过点（5π6，1），
所以cos（5π6+φ）＝1，
解得5π6+φ=2kπ（k∈Z），
由﹣π＜φ＜0，可知φ=-5π6，
所以f（x）＝cos（x-5π6），
对于A，将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度，可得y＝cos（x-5π6+π3）＝cos（x-π2）＝sinx，
由正弦函数为奇函数可知，A正确；
对于B，因为f（x）＝cos（x-5π6）的对称轴方程为x-5π6=kπ，即x=5π6+kπ（k∈Z），
当k＝﹣1时，x=-π6，故B正确；
对于C，当x∈[17π6，23π6]时，x-5π6∈[2π，3π]，
而余弦函数在该区间不是单调递增的，故C错误；
对于D，令x-5π6=kπ+π2（k∈Z），
解得：x=43π+kπ，
所以其对称中心为（4π3+kπ，0）（k∈Z），
当k＝0时可知，D正确．
故选：ABD．
11．（2021秋•湛江月考）函数f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为4π，将f（x）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）是奇函数，则（　　）
A．φ=π3
B．g（x）在区间[π3，3π2]上的最大值为﹣3
C．φ=π6
D．g（x）在区间[π3，3π2]的最大值为-32
【分析】根据已知条件，结合三角函数的周期公式，以及奇函数的性质，即可依次求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为4π，
∴ω=2π4π=12，
∵将f（x）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，
∴g(x)=3cos(12x+π6+φ)，
∵g（x）为奇函数，
∴φ+π6=π2+kπ(k∈Z)，
∵|φ|＜π2，
∴φ=π3，故A正确，C错误，
∴g(x)=-3sinx2，
当x∈[π3，3π2] 时，
x2∈[π6，3π4]，
∴-3≤g(x)≤-32，故C错误，D正确．
故选：AD．
12．（2021秋•湖南月考）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（πA＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移π6个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．下列结论正确的是（　　）

A．当-π5≤x≤2π3时，f（x）的取值范围是[﹣1，2]
B．f（-41π6）=3
C．曲线y＝f（x）的对称轴是x＝kπ+π2（k∈Z）
D．若|x1﹣x2|＜π2，则|f（x1）﹣f（x2）|＜4
【分析】由顶点坐标求出A和k，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，
可得A＝2，12⋅2πω=11π12-5π12，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故函数y＝2sin（2x+π6）．
将该函数的图象向x轴负方向平移π6个单位，可得函数y＝2sin（2x+π2）＝2cos2x的图象，
再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）＝2cosx的图象．
当-π5≤x≤2π3时，f（x）＝2cosx的取值范围是[﹣1，2]，故A正确；
f（-41π6）＝2cos41π6=2cos5π6=-3，故B错误；
显然，函数f（x）的图象的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误；
若|x1﹣x2|＜π2，则|f（x1）﹣f（x2）|＜|2﹣（﹣2）|＝4，即|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D正确，
故选：AD．

三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•东城区校级期中）如果将函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移π12个单位所得到的图象关于y轴对称，那么φ＝　　．
【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
【解答】解：将函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移π12个单位，
所得到y＝sin[3（x+π12）+φ]＝sin（3x+π4+φ）的图象，
∵得到的函数图象关于y轴对称，
∴π4+φ＝kπ+π2，k∈Z，
∴求得 x＝kπ+π4，k∈Z，
又﹣π＜φ＜0，
∴φ=-3π4．
故答案为：-3π4．
14．（2021秋•新都区月考）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M、N两点，且M在y轴上，圆的半径为5π12，则f(π6)=　　．

【分析】由函数图象可求f（x）的周期，利用周期公式可求ω＝2，又f（-π6）＝0，可求φ的值，由圆半径为5π12，利用勾股定理可求得A，从而可求得函数解析式，计算可得f（π6）的值．
【解答】解：由图可知，M，N关于点C对称，易得点C的横坐标为π3，
所以f（x）的周期T＝2（π3+π6）＝π，所以ω=2πT=2，
又f（-π6）＝0，所以sin[2×（-π6）+φ]＝0，
因为0＜φ＜π，所以φ=π3，
因为圆半径为5π12，所以32A=(5π12)2-(π3)2，解得A=3π6，
函数f（x）的解析式为f（x）=3π6sin（2x+π3），
所以f（π6）=3π6sin（2×π6+π3）=π4．
故答案为：π4．
15．（2021秋•南宁月考）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移π6个单位后，再向上平移2个单位得到函数g（x），若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，g（x1）=16g(x2)，则|x1﹣x2|的最小值为 　　．
【分析】先利用三角函数的图象变换求出g（x）的解析式，从而得到g（x）的最大值为4，由题意可得，g（x1）＝4，g（x2）＝4，即可得到答案．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移π6个单位后，可得y=2sin2(x-π6)=2sin(2x-π3)，
再向上平移2个单位，得到函数g（x）=2sin(2x-π3)+2，
所以函数g（x）的最大值为4，
因为∃x1，x2∈R，且x1≠x2，g（x1）=16g(x2)，
则g（x1）g（x2）＝16，
所以g（x1）＝4，g（x2）＝4，
则|x1﹣x2|＝kπ，
所以|x1﹣x2|的最小值为π．
故答案为：π．
16．（2021秋•河北区校级月考）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将函数y＝f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的32，再将所得函数图像向左平移π6个单位长度，的到函数g（x）的图像，则下列关于函数g（x）的说法正确的是 　　.（写序号）
（1）点(π6，0)是g（x）图像的一个对称中心；
（2）x=π6是g（x）图像的一条对称轴；
（3）g（x）在区间[-π6，π3]上单调递增；
（4）若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为π2．

【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像，可得A＝2，14•2πω=2π9-π18，∴ω＝3，
再结合五点法作图，可得3×2π9+φ=π2，∴φ=-π6，故f（x）＝2sin（3x-π6）．
将函数y＝f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的32，可得y＝2sin（2x-π6）的图象；
再将所得函数图像向左平移π6个单位长度，的到函数g（x）＝2sin（2x+π6）的图像，
令x=π6，求得g（x）＝2，为最大值，故x=π6是g（x）的一条对称轴，故（1）错误，（2）正确；
在区间[-π6，π3]上，2x+π6∈[-π6，5π6]，函数g（x）没有单调性，故（3）错误；
若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则 g（x1）与g（x2）一个最大，另一个最小，
故|x1﹣x2|的最小值为函数g（x）的半个周期，为12•2π2=π2，故（4）正确，
故答案为：（2）（4）．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021秋•九龙坡区校级月考）已知函数f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx﹣1（0＜ω＜2）．在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在f（x）图象上相邻的两个对称中心的距离为π2；
条件②：f（x）的一条对称轴为x=π6．
（1）求ω；
（2）将f（x）的图象向右平移π3个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[-π3，π3]上的值域．
【分析】（1）由三角函数的恒等变换对f（x）进行化简，再分别由条件①②求ω的值．
（2）由三角函数的平移变换得g（x）的图象，再由函数的定义域求值域即可．
【解答】解：（1）f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx﹣1
＝cos2ωx+3sin2ωx
＝2sin（2ωx+π6）
选①：f（x）图象上相邻两个对称中心的距离为π2，
则T＝π=2π2ω，则ω＝1，
选②：f（x）的一条对称轴为x=π6，
则2ω⋅π6+π6=kπ+π2，．
∴ω＝3k+1，则ω＝1，
于是f（x）＝2sin（2x+π6）
（2）将f（x）＝2sin（2x+π6）的图象向右移π3个单位长度（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝2sin[2（x-π3）+π6]＝2sin（2x-π2）＝﹣2cos2x的图象
∵x∈[-π3，π3]，
∴2x∈[-2π3，2π3]，
∴cos2x∈[-12，1]，
∴g（x）的值域为[﹣2，1]．
18．（2021秋•安徽月考）已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω＞0，φ∈(-π2，π2))．其图像相邻两条对称轴的距离为π2，且f（0）＝1，f(π6)=A．
（1）求f（x）；
（2）把函数f（x）图像向右平移π12中得到函数g（x）图像，若g（α）＝1，求tan(α-π)+tan(π2-α)的值．
【分析】（1）由三角函数的对称轴和特殊值，可得f（x）的函数解析式，
（2）由三角函数的平移可得g（x），再进行化简即可．
【解答】解：（1）由题意得T2=π2，
则T＝π=2πω，
则ω＝2，
f(π6)=Asin(2π6+φ)=A，
则sin（π3+φ）＝1，
∴φ=π6，
又f（0）＝Asinφ＝1，
则A＝2，
故f（x）＝2sin（2x+π6），
（2）由题意可得g（x）＝2sin2x，
g（α）＝2sin2α＝1，
∴sinαcosα=14，
则tan（α﹣π）+tan（π2-α）
＝tanα+1tanα
=1sinαcosα
＝4．
19．（2021秋•河南月考）已知函数f（x）=3cos2x﹣sin2x，将f（x）的图象向左平移α（α＞0）个单位长度得到函数g（x）的图象．
（1）若α=π4，求g（x）的单调递增区间；
（2）若α∈（0，π2），g（x）的一条对称轴为直线x=π12，求当x∈[0，π2]时g（x）的值域．
【分析】（1）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性即可求解；
（2）由题意利用正弦函数的图像的对称性求出α，再根据正弦函数的定义域和值域即可进行求解．
【解答】解：（1）因为f(x)=3cos2x-sin2x=2cos(2x+π6)，
所以g(x)=f(x+a)=2cos(2x+2a+π6)，
当α=π4时，g(x)=2cos(2x+2π3)，
由2kπ-π≤2x+2π3≤2kπ(k∈Z)，
得kπ-5π6≤x≤kπ-π3，（k∈Z），
所以g（x）的单调第增区间为[kπ-5π6，kπ-π3]，（k∈Z），
（2）由（1）知g(x)=2cos(2x+2a+π6)，
由g（x）的一条对称轴为x=π12，所以g(π12)=±2，
即2cos(π3+2α)=±2，所以π3+2α=kπ，得α=kπ2-π6，（k∈Z）．
又因为α∈（0，π2），故α=π3，g(x)=2cos(2x+5π6)，
由x∈[0，π2]，得2x+5π6∈[5π6，11π6]，故cos(2x+5π6)∈[-1，32]，
所以g（x）的值域为[-2，3]．
20．（2021秋•南开区校级月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并求f（x）单调递减区间；
（2）若h（x）＝f（x）•f（x-π6），x∈[0，π4]，求h（x）的取值范围．

【分析】（1）直接利用三角函数的图象确定函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；
（2）利用三角函数的关系式求出正弦型函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．
3T4=7π12-(-π6)=3π4，A=3，
解得：T＝π；
故：ω＝2．
当x=-π6时，f（-π6）=3sin(-π3+φ）＝0，
由于0＜φ＜2π，
所以φ=π3；
故f（x）=3sin(2x+π3)，
令π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+3π2（k∈Z），
整理得：π12+kπ≤x≤kπ+7π12（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[π12+kπ，kπ+7π12]（k∈Z）．
（2）由于h（x）＝f（x）f（x-π6）=3sin(2x+π3)×3sin2x=32sin22x+332cos2x⋅sin2x=32sin(4x-π6)+34；
由于x∈[0，π4]，
所以4x-π6∈[-π6，5π6]，
故32sin(4x-π6)+34∈[0，94]，
即h（x）∈[0，94]．
21．（2021秋•二七区校级月考）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣cos2ωx-12的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的对称轴；
（2）将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数y＝4g2（x）﹣12g（x）﹣1在x∈[π12，π3]上的最值．
【分析】由三角恒等变换的公式可得函数解析式，再由三角函数的平移得出所求函数的解析式，再求最值即可．
【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣cos2ωx-12
=32sin2ωx-12cosωx﹣1
＝sin（2ωx-π6）﹣1，
因为f（x）的最小正周期为π，
故2π2ω=π，所以ω＝1，
故f（x）＝sin（2x-π6）﹣1，
其对称轴满足2x-π6=kπ+π2（k∈z），
故其对称轴为x=kπ2+π3（k∈z）．
（2）将函数f（x）的图像向左平移π12个长度单位得到函数y＝sin2x﹣1的图像，
再向上平移1个单位长度，得到g（x）＝sin2x的图像，
因此y＝4g2（x）﹣12g（x）﹣1
＝4sin22x﹣12sin2x﹣1，
令t＝sin2x，由于2x∈[π6，2π3]，
故t∈[12，1]，
所以y＝4t2﹣12t﹣1＝4（t-32）2﹣10，
所以当t=12时，即x=π12时，ymax＝﹣6，
当t＝1时，即x=π4时，ymin＝﹣9．
22．（2021秋•湖北月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的m（m＞1）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，证明：g（x）在（0，π3）上有最大值的充要条件是1＜m＜8．

【分析】（1）．由函数的图像求可知，先求出周期从而可以求出ω值，在利用特殊值可以求出φ的值，进而求出f（x）的解析式．
（2）．利用图像变换可以得到g（x）＝sin（6mx+π4），若当1＜m＜8，可以求得6mx+π4的取值范围，进而能判断出g（x）可以取得最大值．若g（x）有最大值，则6mx+π4＞π2，从而能够得出1＜m＜8．即得证充要性．
【解答】（1）解：由图可知(3+14)T=7π8-(-5π24)=13π12，T=π3=2πω，解得ω＝6．将点(-5π24，0) 代入f（x）＝sin（6x+φ），得-5π4+φ＝kπ，（k∈z），因为|φ|＜π2，所以φ=π4．
故f（x）的解析式为f(x)=sin(6x+π4)．
（2）证明：依题意可得g(x)=sin(6mx+π4)．先证充分性：当x∈(0，π3)时，6mx+π4∈(π4，2πm+π4)，因为1＜m＜8，所以2πm+π4∈(π2，9π4)，故有6mx+π4=π2必有解，从而g（x）在(0，π3) 上有最大值．即充分性成立．
再证必要性：因为g（x）在(0，π3) 上有最大值，且当x∈(0，π3) 时，6mx+π4∈(π4，2xm+π4)，所以2πm+π4＞π2，又m＞1，所以1＜m＜8，从而必要性成立．
综上g（x）在(0，π3)上有最大值的充要条件1＜m＜8．