高中第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试单元测试课后测评

第一章 集合与常用逻辑用语 核心素养定心卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

3．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ）

A． B． C． D．

4．已知集合}，则集合中元素的个数是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则

A．12 B．21 C．102 D．201

7．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（    ）

A．16 B．17 C．18 D．19

8．设集合，，若⊆，则对应的实数对有

A．对 B．对 C．对 D．对

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意

9．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（    ）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素

B．M没有最大元素，N也没有最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M有一个最大元素，N没有最小元素

10．设非空集合S⊆R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（    ）

A．有理数集Q是封闭集

B．若S是封闭集，则S一定是无限集

C．一定是封闭集

D．若是封闭集，则一定是封闭集

11．对任意A，BR，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若A，BR且A⊕B＝B，则A＝

B．若A，BR且A⊕B＝，则A＝B

C．若A，BR且A⊕BA，则AB

D．存在A，BR，使得A⊕B＝⊕

E.存在A，BR，使得

12．设全集为，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则  D．若，则

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，，其中，如果，则实数的取值范围__.

14．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P+Q中元素的个数是____．

15．若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.

16．是的____________条件．

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.

（1）当a=2时，求；

（2）若选        ，求实数a的取值范围.

18．设集合或，或.

（1）设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

19．设集合，集合.

（1）求使的实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

20．设集合．

（1）对分类讨论求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

21．已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

22．已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.

（1）当时，设，求；

（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.

参考答案

1．A

【解析】集合中有10个元素，中有6个元素，因为，

至少有 个元素，至多有个元素，

所以至多有个元素，至少有个 元素，

集合有个元素，则且为正整数.

即的取值范围是，

故选：.

2．D

【解析】，因为，所以，

当时，集合，满足；

当时，集合，

由，得或，解得或，

综上，实数的取值集合为.

故选：D.

3．C

【解析】若①错，则，，，

有两种情况：，，，，

或，，，，；

若②错，则，，互相矛盾，故②对；

若③错，则，，，

有三种情况：，，，，；

，，，，；

，，，，；

若④错，则，，，

只有一种情况：，，，，

所以

故选：C

4．C

【解析】由可得, ，即,

N中的满足的整点有：

，共9个点，

其中只有(1,1)这一个点不满足，

故中的元素个数为8个，

故选：C.

5．A

【解析】根据图形，可知阴影不包含，且是的子集，

根据集合的运算，可得阴影是.

故选：A.

6．D

【解析】由得的取值情况如下：

当时，，或，，此时不满足条件；

当时，或此时不满足条件；

当时，此时不满足条件；

当时，此时满足条件；

综上得，代入.

7．C

【解析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，

选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，

要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，

除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，

则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，

单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，

单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，

以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，

所以单选物理、化学的人数至多8人，

所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.

故选：C.

8．D

【解析】解：因为集合，

所以，，

因为，，，，

所以，或，或，

①当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

②当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

③当时，则或

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

当时，即，，，此时可知，，，成立，即，；

综上所述：，，或，，或，，或，，共4对．

故选：．

9．ABD

【解析】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；

令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；

假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；

令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.

故选：ABD．

10．AC

【解析】解：对于：有理数集，相加，相减，相乘还为有理数，故正确；

对于：若，则，，此时，故为封闭集，故错误；

对于，任取，，

所以，，

．，故正确；

对于：若，是封闭集，设，，

则，，

但是，不一定属于，所以不一定是封闭集，故错误；

故选：．

11．ABD

【解析】根据定义，

A.若，则，，，，∴，A正确；

B.若，则，，，B正确；

C. 若，则，，则，C错；

D.时，，，D正确；

E.由定义，，E错．

故选：ABD．

12．ACD

【解析】对于A选项，，，即，所以该选项正确；

对于B选项，考虑，则该选项不正确；

对于C选项，，，即，所以该选项正确；

对于D选项，根据集合关系，则显然正确.

故选：ACD

13．或

【解析】由中方程变形得：，

解得：或，即，，

由，其中，且，

分两种情况考虑：

若时，，即，满足题意；

若时，，即，

当时，，符合题意；

当时，,所以，解得，符合题意；

综上，的范围为或.

故答案为：或

14．8

【解析】解：∵a∈P，b∈Q，∴a可以为0，2，5三个数，b可以为1，2，6三个数，

∴x＝0+1＝1，x＝0+2＝2，x＝0+6＝6，x＝2+1＝3，x＝2+2＝4，x＝2+6＝8，x＝5+1＝6，x＝5+2＝7，x＝5+6＝11，

∴P+Q＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈Q}＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素．

故答案为8．

15．15

【解析】由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，

所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：

即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，

所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，

故答案为：.

16．充分非必要

【解析】由可得，

，

，

所以，.

充分性：若，则，，，从而，充分性成立；

必要性：取，，则成立，但不成立，即必要性不成立.

因此，是的充分非必要条件.

故答案为：充分非必要条件.

17．（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）当时，集合，，

所以；

（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，

因为，所以又因为，

所以  等号不同时成立，

解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，所以.

因为，所以.

又因为，

所以，解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，

而，且不为空集，，

所以或，

解得或，

所以实数a的取值范围是或．

18．

（1）

（2）不存在，理由见解析

19．

（1）

（2）存在，

20．（1）①当时，；②当时，；③当时，；（2）．

【解析】（1）根据题意以及二次函数的性质对分类讨论如下：

①若时，；

②若时，；

③若时，.

综上，①当时，；②当时，；③当时，.

（2），，又，

①若时，，

②若时，，

③若时，，

综上所述：实数.

21．（1），或；（2）

【解析】解：（1），

，

或，

或，

，

或；

（2）是的充分不必要条件，

，

若是空集，则，

解得：，

若不是空集，

即：或 ，

解得：.

综上所述：.

22．（1）；；（2）；证明见解析.

【解析】（1）；

；

（2）证明：因为，

，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设

则，当时，；

当时，.

所以