湖北省宜昌市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份湖北省宜昌市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2021年秋季学期期中考试
九年级数学试题
一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分）
1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是


A B C D
2. 关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是
A. B. C. 且 D. 且
3. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是
A. B. C. D.
4. 如图，在中，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则
A. B. C. D.

5. 如图，抛物线与直线的交点为，当时，的取值范围是
A. B.
C. 或D. 或
6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是
A. B. C. D.
7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A. B. C. D.
8. 已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
9. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠和喷头的水平距离米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10. 抛物线的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
12. 若抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则所得的抛物线解析式是______．
13. 如图，将绕点逆时针旋转，得到若点在线段的延长线上，则的度数是______．

14. 若抛物线过原点，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为______．
15. 如图，在中，，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，则______．
三、解答题（共9小题，共75分）

16. 解下列方程式：
． ．
17. 已知抛物线，根据下列条件求的值．
顶点在轴上． 顶点在轴上． 最小值是．
18. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
若花园的面积为，求的值；
若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，这时要使得花园面积为，求的值．


19. 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
求这条抛物线所对应的函数关系式；
设点为抛物线的对称轴上的一动点，求使的点的坐标．
20. 某工厂用天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本元件与天之间的关系如图所示，第天该产品的生产量件与天满足关系式．
第天，该厂生产该产品的利润是____元；
设第天该厂生产该产品的利润为元．求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

21. 如图，正方形的边、分别在、轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接、．
求证：≌；
求的度数，并判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
连接、、、得到四边形，在旋转过程中，四边形能否是矩形？如果能，请求出点的坐标，如果不能，请说明理由．





22. 健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在年推出，两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元．已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
用含的代数式表示；
随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．
求年每种套餐的销售量；
由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，年该公司将每份套餐的利润在年的基础上增加，年在年的基础上又增加若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅年一年就获利万元，求的值．
23. 如图，若四边形、都是正方形，显然图中有，．
当正方形绕旋转到如图的位置时，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
当正方形绕旋转到，，在一条直线如图上时，连结，设分别交、于、．
 求证：；
 如果，，，
求的长．
24. 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点其中点在轴左侧，点在轴右侧，对称轴直线交轴于点．

若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
如图，，点是抛物线上位于轴右侧的动点，且，求点的坐标；
如图，过点作交抛物线于点，若点的纵坐标为，求点的坐标．

2021年秋季学期期中考试九年级数学试题
25. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，熟记定义是解答本题的关键．

26. 关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是
A. B. C. 且 D. 且
【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实根，
，
解得：且．
故选：．
由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．

27. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点的坐标是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解：将点绕原点旋转后，得到的对应点，
点和点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标是．
故选：．
根据题意可得，点和点的对应点关于原点对称，据此求出的坐标即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质，属于中考常考题型．

28. 如图，在中，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故选：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．

29. 如图，抛物线与直线的交点为，当时，的取值范围是
A.
B.
C. 或
D. 或

【答案】
【解析】解：二次函数与一次函数的交点、的坐标分别为、，
当时，的取值范围是或，
故选：．
根据两函数的图象和、的坐标得出即可．
本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，解决这类题目的关键是数形结合：能根据图象得出正确信息．

30. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方公式配方可得到结果．
【解答】
方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
解：方程，整理得：，
配方得：，即，
故选：．  
31. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解：把代入方程
得，解得，，
而，
所以．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

32. 已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解：因为，开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，和关于直线对称，
因为，故，
故选：．
根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断；根据二次函数的性质即可判断．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

33. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠和喷头的水平距离米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．
根据二次函数的顶点式或者对称轴公式即可求解．
【解答】
解：方法一：
根据题意，得
，

所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米．
方法二：
因为对称轴，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是米．
故选：．  
34. 抛物线的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】
【解析】解：，
顶点坐标是，即函数图象的顶点在第一象限，
抛物线与轴的交点坐标是，，
当时，，
即与轴的交点坐标是，
所以抛物线的图象不经过第二象限，
故选：．
根据函数的解析式求出函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，再进行分析判断即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

35. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【解答】
解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
对称轴为，得，即，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，
，即故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：．  
36. 若抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则所得的抛物线解析式是______．
【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移个单位，再向下平移个单位后的图象的顶点坐标为，
所以，所得图象的解析式为，即．
故答案为：．
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．

37. 如图，将绕点逆时针旋转，得到若点在线段的延长线上，则的度数是______．


【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

38. 若抛物线过原点，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为______．
【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线过原点，
抛物线与轴的另一个交点坐标为．
故答案为．
利用抛物线的对称性求解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标转化为解关于的一元二次方程．

39. 如图，在中，，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，则______．



【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
当点落在边上时，根据，即可解决问题，当点落在上时，在中，根据，可以判定，由此即可解决问题．
【解答】
解：当点落在边上时，
，
，
，
当点落在上时，
在中，
，，
，
，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．  
40. 解下列方程式：
．
．
【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
或；
【解析】根据配方法即可求出答案；
根据因式分解法即可求出答案；
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

41. 已知抛物线，根据下列条件求的值．
顶点在轴上．
顶点在轴上．
最小值是．
【答案】解：抛物线的顶点在轴上，即，
；
抛物线的顶点在轴上，即，
；
的最小值为，，即，
解得：或．
【解析】本题考查了二次函数的最值及图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是掌握二次函数上点的坐标特征及二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标公式解答即可．
抛物线的顶点在轴上，即，解之即可得出答案；
抛物线的顶点在轴上，即，解之即可；
的最小值为，即，解之即可．

42. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
若花园的面积为，求的值；
若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，这时要使得花园面积为，求的值．
【答案】解：，则，
，
解得：，，
答：的值为或；
由题意，得，
解得：，，
，
解得：．
．
【解析】根据题意得出长宽列出方程，进一步解方程得出答案即可；
根据题意求出或，根据题意建立不等式组求出结论．
本题考查了矩形的面积公式的运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式组的运用，解答时根据题意列出方程是关键．

43. 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

求这条抛物线所对应的函数关系式；
设点为抛物线的对称轴上的一动点，求使的点的坐标．
【答案】解：抛物线的对称轴为，且，
；
可设抛物线的解析式为，
由于抛物线经过，
则有：，


设经过点且与直线垂直的直线为直线，作轴，垂足为
，
，
，
．
【解析】此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识，难度适中．
根据抛物线的对称轴可求出点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
若，根据为等腰直角三角形，可推出为等腰直角三角形，根据线段长度求点坐标．

44. 某工厂用天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第天的生产成本元件与天之间的关系如图所示，第天该产品的生产量件与天满足关系式．

第天，该厂生产该产品的利润是____元；
设第天该厂生产该产品的利润为元．求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】解：   
解：设直线的解析式为，把、代入得

解得
直线的解析式为，
当时，
，
随的增大而减小，
当时，，
当时，



当时，，
，
第天的利润最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质以及在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，则可求得第天的利润．
利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】
解：由图象可知，第天时的成本为元，此时的产量为，
则第天的利润为：元，
故答案为．
见答案．  
45. 如图，正方形的边、分别在、轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接、．

求证：≌；
求的度数，并判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
连接、、、得到四边形，在旋转过程中，四边形能否是矩形？如果能，请求出点的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】证明：
正方形绕点旋转得到正方形，
，，
在和中

≌；
解：
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：四边形可为矩形，如图，

若四边形为矩形，则，
，
，
设点坐标为，则，
，，
，，
在中，可知，，，
，解得，
点坐标为．
【解析】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在中注意的应用，在中证得≌是解题的关键，在中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
由正方形的性质及旋转的性质可得到，利用即可证得结论； 
利用的结论，结合条件可证得≌，进一步可求得，再结合全等可求得； 
利用矩形的性质可得到，设，则可表示出、的长，在中，利用勾股定理可得到关于的方程，则可求得点坐标．

46. 健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在年推出，两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元．已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
用含的代数式表示；
随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．
求年每种套餐的销售量；
由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，年该公司将每份套餐的利润在年的基础上增加，年在年的基础上又增加若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅年一年就获利万元，求的值．
【答案】解：根据题意知，，
所以或；

依题意得年项套餐销售量为万份，项套餐销售量为万份，
根据题意得：，
解得．
所以年项套餐销售量为万份．
年项套餐销售量为万份；
依题意可知，
年项套餐每份盈利元，
年项套餐每份盈利元，
年项套餐每份盈利元，
所以根据题意得：．
设，则．
解得不符合题意，舍去．
．
【解析】根据总利润万元列出方程，并解答；
依题意得年项套餐销售量为万份，项套餐销售量为万份，根据题意列出方程组并解答；
年项套餐每份盈利元，年项套餐每份盈利元，年项套餐每份盈利元，所以根据题意得：解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程组一元二次方程．

47. 如图，若四边形、都是正方形，显然图中有，．
当正方形绕旋转到如图的位置时，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
当正方形绕旋转到，，在一条直线如图上时，连结，设分别交、于、．
 求证：；
 如果，，，求的长．

【答案】解：成立．
理由：四边形、四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，

≌，
；
证明：由可知≌，
，
，，
，
，
；

解：过作于．
是正方形的对角线，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得
．
【解析】此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用正方形性质得出相等线段和角是解题关键．
利用正方形性质以及全等三角形的判定的很粗≌即可得出答案；
根据得出，再利用，，可得出，进而得出答案；
利用等腰直角三角形的性质可得出，进而利用勾股定理求出的长．

48. 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点其中点在轴左侧，点在轴右侧，对称轴直线交轴于点．

若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
如图，，点是抛物线上位于轴右侧的动点，且，求点的坐标；
如图，过点作交抛物线于点，若点的纵坐标为，求点的坐标．
【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
，
．
又抛物线经过点，
，
解得．
故该抛物线解析式是；

如图，连接，
对称轴直线交轴于点，
，．
又，
，
设，两点的坐标分别为，，
则，是方程的两根，
，，
，
．
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：或舍去．
，
．
当时，点与点关于直线对称，
．
当时，，
解得：．
又点在轴的右侧，
，
点的坐标为．
综上所述，符合条件的点的坐标为，．

解：如图，设直线的解析式为：，
联立直线与抛物线的解析式，得，
消去，得，
解得：，，
由知，
，
．
把点的坐标代入，得．
，
则设的解析式为：．
联立直线与抛物线的解析式，得
，
消去，得，
设点、的横坐标分别为、，
则，
，
．
又，．
则有：，
解得：舍去，，
，
点的坐标是．
【解析】根据抛物线的对称轴方程公式求得的值，然后将点代入函数解析式求得的值即可；
由限制性条件，可以得到点与点的纵坐标的绝对值相等，所以根据二次函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式求得点的纵坐标即可；
利用直线与系数的关系可以设直线的解析式为：，的解析式为：根据直线与抛物线的交点的求法，借助于方程以及一元二次方程的根与系数的关系求得点的坐标即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．