高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念背景图课件ppt

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理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.掌握任意角三角函数在各象限的符号.掌握三角函数诱导公式一并会应用.
在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
如图，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，现在的任务是：建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究这个问题.如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
问题2 一般地，给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 所以，点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数.
分析:利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是(0,1)和 ，它们都是唯一确定的.
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
可以看出，当 时，α的终边始终在y轴上，这时x=0，即此时tanα无意义. 除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称为正切函数.
三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
注意:（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数（2）x是自变量，离开自变量x的sin,cs,tan是没有意义的（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.
解:在坐标系中作出∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，所以
证明：设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)．分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0，垂足分别为M,M0，则|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，
例2　如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：
△OM0P0∽△OMP．
① 叫做α的正弦，即② 叫做α的余弦，即③ 叫做α的正弦，即
任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
三角函数的定义域、值域和函数值的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！
例3 求证：角θ为第三象限角的充要条件为
证明：首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角. 因为sin θ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的负半轴重合； 又因为cs θ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知θ为第三象限角. 再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sin θ＜0，cs θ＞0，所以必要性成立，即充要性成立.
由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.
做题时，把任意角转化为求(0~2π)即(0°~ 360°)角的三角函数值，简化计算.
本质：角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.
例4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（3）tan(-672)
（7）cs(-450)
例5 求下列各角的三角函数值
2.计算下列三角比的值.
A. B. C.-4 D.4
[解析] 因为角α的终边经过点 ，所以 ，所以m＜0，解得 .
1.三角函数的定义：①单位圆定义，②终边定义.2.三角函数在各象限内的符号.3.诱导公式一.4.正切函数的定义域为 .