初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数导学案

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数导学案，共25页。学案主要包含了阅读质疑 自主探究，多元互动 合作探究，训练检测 目标探究，迁移应用 拓展探究等内容，欢迎下载使用。

学习目标
1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
学习重点:
1. 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
学习难点:
1. 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学流程
【导课】
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
【阅读质疑 自主探究】
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？

结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念：
规定：在Rt△BC中，∠C=90，
∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
【多元互动 合作探究】
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
【训练检测 目标探究】
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=eq \f(2,3)，则边AC的长是( )
A．eq \r(,13) B．3 C．eq \f(4,3) D．eq \r(,5)
4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．
【迁移应用 拓展探究】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
csA＝_____，sinB＝_____，csB＝_____。
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinA＝_____，csB=_______,csA=________,sinB=_______.
3．如图,已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin40° B．mcs40°
C．mtan40° D．
4．比较大小：sin40° sin80°;
cs40° cs80° 。
5. 在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90°求:（1）csA； (2)当AB=4时,求BC的长.
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授课时间： 累计课时：
第二十八章锐角三角函数
28．1锐角三角函数（2）——、正弦、余弦、正切
学习目标
1、感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
学习重点:
1. 理解余弦、正切的概念。
学习难点:
1. 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
E
O
A
B
C
D
·
教学流程
【导课】
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC= EQ \R(,5) ，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A．B．C．D．
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比是 ，
现在我们要问：
∠A的邻边与斜边的比呢？
∠A的对边与邻边的比呢？
为什么？
【阅读质疑 自主探究】
类似于正弦的情况，
如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即csA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．
例如，当∠A=30°时，我们有csA=cs30°= ；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，csA，tanA也是A的函数．新课标第一网
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求csA、tanB的值．
【多元互动 合作探究】
A
B
C
第3题
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则tanA＝________，tanB＝______.
2、在直角△ABC中,∠C=90°,BC=5,tanA=,求AB=_____.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=，求tanA与tanB的值.
4、如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________.
A
BA
CBA
DCBA
ECBA
第4题
5、如图，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知∠DPB＝60º，D是 EQ \\ac (BC,\s\up9(︵))的中点，则tan∠ADC等于（ ）
第5题
（A） eq \f(1,2) （B）2 （C） eq \r(3) （D） eq \f(\r(3),3)
【训练检测 目标探究】
1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）
A．B．C．D．
2. 在中，∠C＝90°，如果cs A= eq \f(4,5) 那么的值为（）
A． eq \f(3,5) B． eq \f(5,4) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P
点的坐标为（3，4），
则csα＝_____________.
【迁移应用 拓展探究】
A
B
C
D
1、如图，在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
①tanA= = ；
②tanB= = ；
③tan∠ACD= ；
B
A
C
④tan∠BCD= ；
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，求AB的值。
3、如图，∠1的正切值等于__________
4、三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
第5题图
A． B． C． D．
第4题图
1
2
3
1
2
3
1
O
x
y
第3题图
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授课时间： 累计课时：
第二十八章锐角三角函数
28．1锐角三角函数（3） ——特殊角三角函数值
学习目标
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
学习重点:
1. 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
学习难点:
1. 30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
教学流程
【导课】
一、自学提纲：
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、合作交流：
思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？
是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．


三、教师点拨：
归纳结果
【阅读质疑 自主探究】
例1：求下列各式的值．
（1）cs260°+sin260°．
（2）-tan45°．
例2：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．

（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
【多元互动 合作探究】
【训练检测 目标探究】
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，csA= eq \f(3,5) ，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cs260°=1 B．sin30°+cs30°=1
C．sin35°=cs55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cs60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且csA≤ eq \f(1,2) ，那么（ ）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= eq \f(1,2) ，
csB= eq \f( eq \r(3) ,2) ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．当锐角a>60°时，csa的值（ ）．
A．小于 eq \f(1,2) B．大于 eq \f(1,2) C．大于 eq \f( eq \r(3) ,2) D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． eq \f(1,2) D． eq \f( eq \r(3) ,2)
11．若（ eq \r(3) tanA-3）2+│2csB- eq \r(3) │=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-csβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4 eq \r(3) ，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB= eq \f( eq \r(5) ,2) ，则csA=________．
【迁移应用 拓展探究】
1．计算.
（1）cs45°－sin30° （2）sin260°＋cs260°
(3)tan45°－sin30°·cs60° (4)
(5)
2．练习:
(1) 若csα=,则锐角α=________.若2csα=1,则锐角α=_________.
⑵在△ABC中，∠C=90°,sinA= ,则csB=_______,tanB=_______
⑶ 若∠A是锐角，且tanA=,则csA=_________.
⑷已知为锐角，且sin=,则sin(90°-)=_
布置作业
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第二十八章锐角三角函数
28．1锐角三角函数（4）—运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
学习目标
1、让学生熟识计算器一些功能键的使用
2、运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
学习重点:
1. 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
学习难点:
1. 知道值求角的处理
教学流程
【导课】
求下列各式的值．
（1）sin30°·cs45°+cs60°;
（2）2sin60°-2cs30°·sin45°
【阅读质疑 自主探究】
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
学生去完成课本83 86页的题目
【多元互动 合作探究】
（3）;
（4）-sin60°（1-sin30°）．

【训练检测 目标探究】
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cs45°+·tan30°
（6）+cs45°·cs30°
【迁移应用 拓展探究】
1．求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）
（1） （2） （3）
2．如图，已知秋千吊绳的长度3.5m，求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.01°）
布置作业
已知，如图，AD是△ABC的高，CD=16，BD=12，∠C＝35°.
求∠B（精确到0.01°）
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教后反思
授课时间： 累计课时：
第二十八章锐角三角函数
28．2解直角三角形（1）
学习目标
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
学习重点:
1. 直角三角形的解法．
学习难点:
1. 三角函数在解直角三角形中的灵活运用
教学流程
【导课】
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．
【阅读质疑 自主探究】
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1) 这时人是否能够安全使用这个梯子
【多元互动 合作探究】
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．
【训练检测 目标探究】
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则csA的值是（ ）
A． B． C．
【迁移应用 拓展探究】
1、如图，AC⊥BC，csADC＝ EQ \f(4,5) ，∠B＝30°AD＝10，求 BD的长．
2、已知跷跷板长4米，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5米，求此时跷跷板与地面的夹角正弦。
布置作业
1、同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2米，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4米．
（1）求滑梯AB的长（精确到0.1米）；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过450，属于安全．通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
2.如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点
E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：
(1) ∠D的度数；
(2)线段AE的长．
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第二十八章锐角三角函数
28．2解直角三角形（2）
学习目标
1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
学习重点:
1. 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
学习难点:
1. 实际问题转化成数学模型
教学流程
【导课】
1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：

tanA=
【阅读质疑 自主探究】
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
【多元互动 合作探究】
1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
（参考数据：sin33°≈0.54，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）
2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）
3、为了改善楼梯的安全性能，准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度，已知原来的楼梯的长为4米，调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面.
【训练检测 目标探究】
C
A
B
1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）

D
乙
C
B
A
甲
2、）如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，已知甲建筑物高米．
（1）求乙建筑物的高；
（2）求甲、乙两建筑物之间的距离

【迁移应用 拓展探究】
3、如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据：，，）
30°
60°
B
A
D
C
海面
4.小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
第二十八章锐角三角函数
28．2解直角三角形（3）
学习目标
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点:
1. 用三角函数有关知识解决方位角问题
学习难点:
1. 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学流程
【导课】
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

【阅读质疑 自主探究】
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
【多元互动 合作探究】
例1：如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°背水坡AD的坡度i（即tan）为1：1.2,坝顶宽DC=2.5m，坝高4.5m 。
求（1）背水坡AD的坡角的正切值。
（2）坝底宽AB的长
延伸：如果在例题中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD加宽0.5m，水坡AD的坡度i（即tan）为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1m3）
【训练检测 目标探究】
完成课本91页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

【迁移应用 拓展探究】
1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，
上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分
别是32°和28°，求路基下底的宽。
2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，
求出坡角。和坝底宽AD。(i＝CE:ED，单位米，
结果保留根号)
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.
分析? 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。
其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.
30°
45°
60°
siaA
csA
tanA
30°
45°
60°
siaA
csA
tanA