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2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（ ）
A．1.1×10﹣7米 B．1.1×10﹣8米
C．1.1×10﹣9米 D．1.1×10﹣10米
5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：
则输出结果为（ ）
A．1.5 B．6.75 C．2 D．7
6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（ ）
成绩（分）
35
36
39
人数
3
2
1
A．36，35，1 B．1，2.5，5 C．36，35.5，1 D．36，35.5，2
8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤
9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（ ）
A．22° B．24° C．27° D．30°
10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞xa或xb＜x＜xc B．xa＜x＜0或xb＜x＜xc
C．x＜xa或x＜xb或x＜xc D．x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc
11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，0） C．（，） D．（﹣，）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝ ．
14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝ ．
15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝ ．
16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝ ．
17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为 ．
18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有 名；
（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．
（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．
①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．
②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|FA﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
【解答】解：∵a与3互为相反数，
∴a＝﹣3，
∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴a的倒数是﹣．
故选：D．
2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．如图所示物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】解：左视图为：，
故选：B．
4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（ ）
A．1.1×10﹣7米 B．1.1×10﹣8米
C．1.1×10﹣9米 D．1.1×10﹣10米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：110纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．
故选：A．
5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：
则输出结果为（ ）
A．1.5 B．6.75 C．2 D．7
【分析】根据题意，求的是3、3、0、2的平均数是多少，用3、3、0、2的和除以4即可．
【解答】解：（3+3+0+2）÷4
＝8÷4
＝2
∴输出结果为2．
故选：C．
6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（ ）
成绩（分）
35
36
39
人数
3
2
1
A．36，35，1 B．1，2.5，5 C．36，35.5，1 D．36，35.5，2
【分析】根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：这组数据的平均数是：（35×3+36×2+39）＝36（分）；
把这些数从小到大排列为：35，35，35，36，36，39，则中位数是＝35.5（分）；
方差是：[3×（35﹣36）2+2×（36﹣36）2+（39﹣36）2]＝2；
故选：D．
8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤
【分析】先把点A（m，）代入直线y＝2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
【解答】解：∵直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），
∴＝2m+1，解得m＝，
∴A（，），
由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方，
∵当x≥时，kx+3≤2x+1．
故选：B．
9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（ ）
A．22° B．24° C．27° D．30°
【分析】根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝51°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，
故选：C．
10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞xa或xb＜x＜xc B．xa＜x＜0或xb＜x＜xc
C．x＜xa或x＜xb或x＜xc D．x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc
【分析】利用函数图象，写出抛物线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象，当x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc时，y1＜y2．
故选：D．
11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，
故选：D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，0） C．（，） D．（﹣，）
【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．
【解答】解：由题意得，第1秒结束时P点的坐标为P1（1，0）；
第2秒结束时P点的坐标为P2（2，0）；
第3秒结束时P点的坐标为P3（2﹣1×cos60°，1×sin60°），即；
第4秒结束时P点的坐标为P4（1，2×sin60°），即；
第5秒结束时P点的坐标为；
第6秒结束时P点的坐标为P6（0，0）；
第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；
……
由上可知，P点的坐标按每6秒进行循环，
∵2020÷6＝336……4，
∴第2020秒结束后，点P的坐标与P4相同为（1，），
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝ ﹣ ．
【分析】先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算负整数指数幂，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝（）﹣2+（2﹣）﹣1
＝+2﹣﹣1
＝﹣，
故答案为：﹣．
14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝ 3 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，可得a＝a2﹣6a+12，解出a的值．
【解答】解：由题意得，a＝a2﹣6a+12，
整理得：a2﹣7a+12＝0，
解得：a＝3或a＝4，
∵3与是最简二次根式，
当a＝4时，二次根式3与不是最简二次根式，
∴a＝3．
故答案为3．
15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝ 2 ．
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故答案为：2．
16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝ 12 ．
【分析】设出AD的长，表示出其横坐标，再根据D、E在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示BE，利用三角形的面积列方程求解即可．
【解答】解：设AD＝a，则BD＝a，AB＝OC＝2a，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴D（a，），E（2a，）
∴BE＝﹣＝，
又∵S△BDE＝3，
∴BD•BE＝3，即×a×＝3，
解得，k＝12，
故答案为：12．
17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为 ．
【分析】连接OC，作OP⊥CD于P，由垂径定理得出OM⊥BC，求出∠MOC＝30°，由直角三角形的性质得出OM＝CM＝，求出∠MON＝120°，由弧长公式得出的长＝，2πr＝，得出r＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：连接OC，作OP⊥CD于P，如图1所示：
则∠OPC＝∠OPD＝90°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠C＝∠D＝120°，∠OCM＝60°，
∵点M为BC的中点，
∴OM⊥BC，
∴∠MOC＝30°，
∴CM＝OC＝1，
∴OM＝CM＝，
∵以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，
∴ON＝OM，
∴ON⊥DE，
由四边形内角和定理得：∠MOP＝∠NOP＝60°，
∴∠MON＝120°，
∴的长＝＝，
围成的圆锥如图2所示：圆锥的高为OQ，底面半径为QM＝r，
则2πr＝，
∴r＝，
由勾股定理得：OQ＝＝＝；
故答案为：．
18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝ ．
【分析】过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，进而得出GQ的长；再根据菱形的性质以及勾股定理即可得到FG的长，进而得到sin∠GFE的值．
【解答】解：如图所示，过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，
由题可得，∠PAD＝30°，AD＝2，DG＝1，
∴PD＝AD＝1，AP＝，
∴Rt△APG中，AG＝＝＝，
由折叠可得，EF垂直平分AG，
∴GQ＝AG＝，
由题可得，∠HDF＝60°，
∴∠HFD＝30°，
设HD＝x，则DF＝2x，FH＝x，AF＝GF＝2﹣2x，
∵DG＝DC＝1，
∴HG＝x+1，
∵Rt△FGH中，（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，
解得：x＝0.3，
∴AF＝FG＝2﹣0.6＝，
∴Rt△FGQ中，sin∠GFE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式组的整数解中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣2≤x＜3，
∵x＝1，0时，原分式无意义，
∴x可以取的整数为﹣2，﹣1，2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣，
当x＝2时，原式＝＝4．
20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 100 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝ 20% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有 590 名；
（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）根据C级的人数是40，所占的百分比，据此即可求得总人数；进而可求出扇形统计图中A等级所占的百分比a的值；
（2）由（1）中的数据可求出B级的人数即可补全条形统计图；
（3）求出A级和B级共占的百分比即可根据该校初四学生数学测试成绩优秀；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样数学测试的学生人数是：40÷×100%＝100（名）；a＝×100%＝20%，
故答案为：100，20%；
（2）B级的人数＝100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：
（3）该校初四共有1180名同学，估计该校初四学生数学测试成绩优秀人数＝1180×（30%+20%）＝590（名），
故答案为：590；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．
21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】设OE＝OB＝2xcm，在直角△OCD中，根据含30度角的直角三角形的性质得出OC＝OD＝140+x，那么BC＝OC﹣OB＝140﹣x．然后在直角△ABC中，利用正切函数的定义列出关于x的方程，求出x即可得到答案．
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝280+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝140+x，
∴BC＝OC﹣OB＝140+x﹣2x＝140﹣x，
∵tan∠BAD＝，
∴2.14≈，
解得：x≈11.6，
∴OB＝2x≈23（cm）．
故OB的长度约为23cm．
22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．
（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．
【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据“该社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由发放数量比为试点发放中A，B两种款型的数量比，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入（m+3m﹣28）中可求出该社区平均每500人发放的口罩数量，再结合整个街道社区共发放2000盒，即可求出该街道社区人口总数．
【解答】解：（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，
依题意得：，
解得：．
答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．
（2）依题意得：＝，
解得：m＝12，
∴m+3m﹣28＝20．
∴该街道社区人口总数＝×500＝50000（人）．
答：该街道社区人口总数为50000人．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
【分析】（1）连接OC，根据全等三角形的性质得到∠OCP＝∠OBP，求得∠OCP＝90°，于是得到PM是⊙O的切线；
（2）连接OC，根据余角的性质得到OCD＝∠CPO，根据相似三角形的性质得到OC2＝OD•OP，设OD＝x，PD＝9x，根据勾股定理得到AC＝＝2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，BC⊥OP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，
∴△PBO≌△PCO（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP，
∵PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PM是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠OCP＝∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠CPO，
∴△OCD∽△OPC，
∴＝，
∴OC2＝OD•OP，
∵，
∴设OD＝x，PD＝9x，
∴OP＝10x，
∴OC＝x，
∴BC＝6x，
∴AC＝＝2x，
∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，
∴∠ACM＝∠OCD，
∴∠ACM＝∠CPO，
∴AC∥OP，
∴△ACM∽△OPM，
∴＝＝，
∴＝．
24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝4，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，可求BE＝2，由勾股定理可求CE＝2，由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△AMN≌△DME，可得AN＝DE＝BE，∠MAN＝∠ADE，再由“SAS”可证△ACN≌△BCE，可得∠ACN＝∠BCE，可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，
∴AD＝BD＝2，
∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，
∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，
∵点M是AD中点，
∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），
∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，
∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，
∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，
∴∠CBE+∠DBH＝90°，
∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，
∴△ACN≌△BCE（SAS），
∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，
∴CN⊥CE．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．
①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．
②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|FA﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+可以求出直线的解析式，把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c可以求得抛物线的解析式；
（2）①通过计算得到直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，故AC∥MN，通过计算得出点M与点E的横坐标相同，故ME∥y轴，即GM∥CN，从而得到结论；
②因为FA＝FB，通过对进行转化并通过勾股定理进行计算可以得到答案．
【解答】解：（1）由于直线y＝kx+过点B，
把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+，
得：k+＝0，
∴k＝﹣，
∴直线的解析式为y＝，
由于抛物线y＝ax2+2x+c过点A、B，
把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴拋物线的解析式为；
（2）①解方程组得：
或，
∴点E的坐标为（﹣5，4），
在中，令x＝0得：
y＝﹣，
∴C（0，），
设直线AC的解析式为y＝mx+b，
把A、C两点的坐标分别代入y＝mx+b得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
将直线BE沿y轴向下平移4个单位后得到的直线MN的解析式为y＝﹣4，
即，
由于直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，
∴AC∥MN，
在中，
令y＝0得x＝﹣5，
∴M（﹣5，0），
由于点M与点E的横坐标相同，
∴ME∥y轴，
即GM∥CN，
∴四边形CGMN是平行四边形；
②抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，
如图，设抛物线的对称轴与直线BE交于点H，连接FB，
由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
即拋物线的对称轴垂直平分线段AB，
故FA＝FB，
∴≤BD，
即的最大值为线段BD的长，
此时点F在线段BD的延长线上，且与点H重合，
在中，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
把x＝﹣代入y＝得：y＝，
即点H的坐标为（），
∴点F的坐标为（），
在y＝中，令x＝0得y＝，
∴D（0，），
∴OD＝，
∵B（1，0），
∴OB＝1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
，
所以抛物线的对称轴上存在点F，
使得的值最大，且最大值为，
此时点F的坐标为（）．
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（ ）
A．1.1×10﹣7米 B．1.1×10﹣8米
C．1.1×10﹣9米 D．1.1×10﹣10米
5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：
则输出结果为（ ）
A．1.5 B．6.75 C．2 D．7
6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（ ）
成绩（分）
35
36
39
人数
3
2
1
A．36，35，1 B．1，2.5，5 C．36，35.5，1 D．36，35.5，2
8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤
9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（ ）
A．22° B．24° C．27° D．30°
10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞xa或xb＜x＜xc B．xa＜x＜0或xb＜x＜xc
C．x＜xa或x＜xb或x＜xc D．x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc
11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，0） C．（，） D．（﹣，）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝ ．
14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝ ．
15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝ ．
16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝ ．
17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为 ．
18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有 名；
（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．
（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．
①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．
②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|FA﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1．如果a与3互为相反数，那么a的倒数等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
【解答】解：∵a与3互为相反数，
∴a＝﹣3，
∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴a的倒数是﹣．
故选：D．
2．下列扑克牌中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．如图所示物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】解：左视图为：，
故选：B．
4．某种冠状病毒的直径是110纳米，已知1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法将110纳米表示为（ ）
A．1.1×10﹣7米 B．1.1×10﹣8米
C．1.1×10﹣9米 D．1.1×10﹣10米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：110纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．
故选：A．
5．利用科学计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：
则输出结果为（ ）
A．1.5 B．6.75 C．2 D．7
【分析】根据题意，求的是3、3、0、2的平均数是多少，用3、3、0、2的和除以4即可．
【解答】解：（3+3+0+2）÷4
＝8÷4
＝2
∴输出结果为2．
故选：C．
6．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
7．在2019年中考体育测试中，我区有6名学生的成绩如表，则这6名学生成绩的平均数、中位数、方差依次为（ ）
成绩（分）
35
36
39
人数
3
2
1
A．36，35，1 B．1，2.5，5 C．36，35.5，1 D．36，35.5，2
【分析】根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：这组数据的平均数是：（35×3+36×2+39）＝36（分）；
把这些数从小到大排列为：35，35，35，36，36，39，则中位数是＝35.5（分）；
方差是：[3×（35﹣36）2+2×（36﹣36）2+（39﹣36）2]＝2；
故选：D．
8．如图，直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），则不等式关于x的不等式kx+3≤2x+1的解集为（ ）
A．x≥ B．x≥ C．x≤ D．x≤
【分析】先把点A（m，）代入直线y＝2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
【解答】解：∵直线y＝2x+1和y＝kx+3相交于点A（m，），
∴＝2m+1，解得m＝，
∴A（，），
由函数图象可知，当x≥时，直线y＝2x+1的图象不在直线y＝kx+3的图象的下方，
∵当x≥时，kx+3≤2x+1．
故选：B．
9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（ ）
A．22° B．24° C．27° D．30°
【分析】根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝51°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，
故选：C．
10．如图，在同一直角坐标系中，y1＝ax2+bx+c与双曲线y2＝交于A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc）三点，则满足y1＜y2的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞xa或xb＜x＜xc B．xa＜x＜0或xb＜x＜xc
C．x＜xa或x＜xb或x＜xc D．x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc
【分析】利用函数图象，写出抛物线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象，当x＜xa或0＜x＜xb或x＞xc时，y1＜y2．
故选：D．
11．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①ab＞0且c＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③8a+c＞0；
④c＝3a﹣3b；
⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤错误，
故选：D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），△OAB是等边三角形，一动点P从O点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A……规则作循环运动，那么第2020秒结束后，点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（2，0） C．（，） D．（﹣，）
【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．
【解答】解：由题意得，第1秒结束时P点的坐标为P1（1，0）；
第2秒结束时P点的坐标为P2（2，0）；
第3秒结束时P点的坐标为P3（2﹣1×cos60°，1×sin60°），即；
第4秒结束时P点的坐标为P4（1，2×sin60°），即；
第5秒结束时P点的坐标为；
第6秒结束时P点的坐标为P6（0，0）；
第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；
……
由上可知，P点的坐标按每6秒进行循环，
∵2020÷6＝336……4，
∴第2020秒结束后，点P的坐标与P4相同为（1，），
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（sin60°）﹣2+|﹣2|﹣（tan30°﹣1）0＝ ﹣ ．
【分析】先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算负整数指数幂，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝（）﹣2+（2﹣）﹣1
＝+2﹣﹣1
＝﹣，
故答案为：﹣．
14．两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝ 3 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，可得a＝a2﹣6a+12，解出a的值．
【解答】解：由题意得，a＝a2﹣6a+12，
整理得：a2﹣7a+12＝0，
解得：a＝3或a＝4，
∵3与是最简二次根式，
当a＝4时，二次根式3与不是最简二次根式，
∴a＝3．
故答案为3．
15．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k＝ 2 ．
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的可能值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故答案为：2．
16．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，若△BDE的面积为3，则k＝ 12 ．
【分析】设出AD的长，表示出其横坐标，再根据D、E在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示BE，利用三角形的面积列方程求解即可．
【解答】解：设AD＝a，则BD＝a，AB＝OC＝2a，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴D（a，），E（2a，）
∴BE＝﹣＝，
又∵S△BDE＝3，
∴BD•BE＝3，即×a×＝3，
解得，k＝12，
故答案为：12．
17．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为2的⊙O，点M为BC的中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在DE上．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，此圆锥的高为 ．
【分析】连接OC，作OP⊥CD于P，由垂径定理得出OM⊥BC，求出∠MOC＝30°，由直角三角形的性质得出OM＝CM＝，求出∠MON＝120°，由弧长公式得出的长＝，2πr＝，得出r＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：连接OC，作OP⊥CD于P，如图1所示：
则∠OPC＝∠OPD＝90°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠C＝∠D＝120°，∠OCM＝60°，
∵点M为BC的中点，
∴OM⊥BC，
∴∠MOC＝30°，
∴CM＝OC＝1，
∴OM＝CM＝，
∵以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，
∴ON＝OM，
∴ON⊥DE，
由四边形内角和定理得：∠MOP＝∠NOP＝60°，
∴∠MON＝120°，
∴的长＝＝，
围成的圆锥如图2所示：圆锥的高为OQ，底面半径为QM＝r，
则2πr＝，
∴r＝，
由勾股定理得：OQ＝＝＝；
故答案为：．
18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则sin∠GFE＝ ．
【分析】过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，依据勾股定理即可得到AG的长，进而得出GQ的长；再根据菱形的性质以及勾股定理即可得到FG的长，进而得到sin∠GFE的值．
【解答】解：如图所示，过F作FH⊥CD于H，过A作AP⊥CD于P，连接AG交EF于Q，
由题可得，∠PAD＝30°，AD＝2，DG＝1，
∴PD＝AD＝1，AP＝，
∴Rt△APG中，AG＝＝＝，
由折叠可得，EF垂直平分AG，
∴GQ＝AG＝，
由题可得，∠HDF＝60°，
∴∠HFD＝30°，
设HD＝x，则DF＝2x，FH＝x，AF＝GF＝2﹣2x，
∵DG＝DC＝1，
∴HG＝x+1，
∵Rt△FGH中，（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，
解得：x＝0.3，
∴AF＝FG＝2﹣0.6＝，
∴Rt△FGQ中，sin∠GFE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．（6分）先化简：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式组的整数解中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣2≤x＜3，
∵x＝1，0时，原分式无意义，
∴x可以取的整数为﹣2，﹣1，2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣，
当x＝2时，原式＝＝4．
20．（8分）为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春季学期延期开学，利用网上平台，停课不停学”，我区某校对初四全体学生数学线上学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 100 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比a＝ 20% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初四共有1180名同学，请估计该校初四学生数学测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有 590 名；
（4）该校老师想从两男、两女四位学生中随机选择两位了解平时线上学习情况，请用列表或画树形图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）根据C级的人数是40，所占的百分比，据此即可求得总人数；进而可求出扇形统计图中A等级所占的百分比a的值；
（2）由（1）中的数据可求出B级的人数即可补全条形统计图；
（3）求出A级和B级共占的百分比即可根据该校初四学生数学测试成绩优秀；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样数学测试的学生人数是：40÷×100%＝100（名）；a＝×100%＝20%，
故答案为：100，20%；
（2）B级的人数＝100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：
（3）该校初四共有1180名同学，估计该校初四学生数学测试成绩优秀人数＝1180×（30%+20%）＝590（名），
故答案为：590；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．
21．（8分）某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝60cm，∠ADE＝30°，DE＝280cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】设OE＝OB＝2xcm，在直角△OCD中，根据含30度角的直角三角形的性质得出OC＝OD＝140+x，那么BC＝OC﹣OB＝140﹣x．然后在直角△ABC中，利用正切函数的定义列出关于x的方程，求出x即可得到答案．
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝280+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝140+x，
∴BC＝OC﹣OB＝140+x﹣2x＝140﹣x，
∵tan∠BAD＝，
∴2.14≈，
解得：x≈11.6，
∴OB＝2x≈23（cm）．
故OB的长度约为23cm．
22．（9分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元/盒，B型口罩单价80元/盒．
（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（3m﹣28）盒．求该街道社区人口总数．
【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据“该社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由发放数量比为试点发放中A，B两种款型的数量比，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入（m+3m﹣28）中可求出该社区平均每500人发放的口罩数量，再结合整个街道社区共发放2000盒，即可求出该街道社区人口总数．
【解答】解：（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，
依题意得：，
解得：．
答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．
（2）依题意得：＝，
解得：m＝12，
∴m+3m﹣28＝20．
∴该街道社区人口总数＝×500＝50000（人）．
答：该街道社区人口总数为50000人．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
【分析】（1）连接OC，根据全等三角形的性质得到∠OCP＝∠OBP，求得∠OCP＝90°，于是得到PM是⊙O的切线；
（2）连接OC，根据余角的性质得到OCD＝∠CPO，根据相似三角形的性质得到OC2＝OD•OP，设OD＝x，PD＝9x，根据勾股定理得到AC＝＝2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，BC⊥OP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，
∴△PBO≌△PCO（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP，
∵PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PM是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠OCP＝∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠CPO，
∴△OCD∽△OPC，
∴＝，
∴OC2＝OD•OP，
∵，
∴设OD＝x，PD＝9x，
∴OP＝10x，
∴OC＝x，
∴BC＝6x，
∴AC＝＝2x，
∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，
∴∠ACM＝∠OCD，
∴∠ACM＝∠CPO，
∴AC∥OP，
∴△ACM∽△OPM，
∴＝＝，
∴＝．
24．（11分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝4，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，可求BE＝2，由勾股定理可求CE＝2，由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△AMN≌△DME，可得AN＝DE＝BE，∠MAN＝∠ADE，再由“SAS”可证△ACN≌△BCE，可得∠ACN＝∠BCE，可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，
∴AD＝BD＝2，
∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，
∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，
∵点M是AD中点，
∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），
∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，
∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，
∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，
∴∠CBE+∠DBH＝90°，
∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，
∴△ACN≌△BCE（SAS），
∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，
∴CN⊥CE．
25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点D，E．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图2，将直线BE沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于M，N两点．直线AC与线段EM交于点G．
①四边形CGMN是平行四边形吗？请说明理由．
②抛物线的对称轴上是否存在一点F．使|FA﹣FD|的值最大？若存在，求出其最大值及点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+可以求出直线的解析式，把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c可以求得抛物线的解析式；
（2）①通过计算得到直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，故AC∥MN，通过计算得出点M与点E的横坐标相同，故ME∥y轴，即GM∥CN，从而得到结论；
②因为FA＝FB，通过对进行转化并通过勾股定理进行计算可以得到答案．
【解答】解：（1）由于直线y＝kx+过点B，
把点B的坐标（1，0）代入y＝kx+，
得：k+＝0，
∴k＝﹣，
∴直线的解析式为y＝，
由于抛物线y＝ax2+2x+c过点A、B，
把点A、B的坐标分别代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴拋物线的解析式为；
（2）①解方程组得：
或，
∴点E的坐标为（﹣5，4），
在中，令x＝0得：
y＝﹣，
∴C（0，），
设直线AC的解析式为y＝mx+b，
把A、C两点的坐标分别代入y＝mx+b得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
将直线BE沿y轴向下平移4个单位后得到的直线MN的解析式为y＝﹣4，
即，
由于直线AC与直线MN的解析式中自变量的系数相等，
∴AC∥MN，
在中，
令y＝0得x＝﹣5，
∴M（﹣5，0），
由于点M与点E的横坐标相同，
∴ME∥y轴，
即GM∥CN，
∴四边形CGMN是平行四边形；
②抛物线的对称轴上存在点F，使得的值最大，
如图，设抛物线的对称轴与直线BE交于点H，连接FB，
由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
即拋物线的对称轴垂直平分线段AB，
故FA＝FB，
∴≤BD，
即的最大值为线段BD的长，
此时点F在线段BD的延长线上，且与点H重合，
在中，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
把x＝﹣代入y＝得：y＝，
即点H的坐标为（），
∴点F的坐标为（），
在y＝中，令x＝0得y＝，
∴D（0，），
∴OD＝，
∵B（1，0），
∴OB＝1，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
，
所以抛物线的对称轴上存在点F，
使得的值最大，且最大值为，
此时点F的坐标为（）．
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