初中第22章 一元二次方程综合与测试同步训练题

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第22章 一元二次方程（章节复习）（重点练）一、单选题1．（2021·全国九年级单元测试）一元二次方程x（x-2）=0的解是（    ）A．x1=1，x2=2 B．x=0 C．x=2 D．x1=0，x2=2【答案】D【分析】利用因式分解的方法求一元二次方程的解,先用因式分解将方程变为一元一次方程, 在进行求解;因为任何数与0相乘都得0,所以两式相乘等于0, 可得x=0或x-2=0, 然后再解这两个方程即可得到一元二次方程的解.【详解】解:x(x-2)=0,..x=0或x-2=0,原方程的解为: x1=0，x2=2.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法, 需结合因式分解的方法进行求解.2．（2021·江苏九年级专题练习）方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A．1、2、-3 B．1、2、-6C．1、-2、6 D．1、2、6【答案】C【分析】首先将方程化为一般形式: ,然后根据此一般形式,即可求得答案.【详解】解:方程化成一般形式是,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6.所以C选项是正确的.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.3．（2021·江苏九年级专题练习）下列方程中，是一元二次方程共有(     )①x2﹣+3=0；②2x2﹣3xy+4=0； ③x2﹣4x+k=0；④x2+mx﹣1=0；⑤3x2+x=20．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义解答,未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】解:①x2﹣+3=0是一元二次方程,故①正确;②2x2﹣3xy+4=0是二元二次方程,故②错误;③x2﹣4x+k=0是二元二次方程,故③错误;④x2+mx﹣1=0是二元二次方程,故④错误;⑤3x2+x=20是一元二次方程,故⑤正确;所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.4．（2020·天津河北·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1-4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．5．（2020·湖北九年级月考）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ）A．6， 2 ，9 B．2 ，－6 ，9 C．2，－6，－9 D．2，6 ，－9【答案】B【分析】将原方程化成一元二次方程的一般形式即得答案．【详解】原方程即为：，所以其二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，－6， 9故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题型，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键．6．（2020·乐山市实验中学）已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（    ）A．6 B．8 C．10 D．8或10【答案】C【分析】解方程求得x的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．【详解】x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；所以此等腰三角形的周长是4+4+2=10．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解一元二次方程-因式分解法及三角形三边关系，本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．7．（2020·湖北九年级月考）若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ）A．m＞2 B．m≠2 C．m＞0 D．m≠0【答案】B【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−2≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．8．（2020·湖北九年级月考）一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把常数项-m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．【详解】把方程x2-2x-m=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=m，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=m+1，
配方得（x-1）2=m+1．
故选A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（2020·湖北九年级月考）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（    ）A．1或2 B．0或－3 C．或 D．0或3【答案】D【分析】把代入方程，得a2−3a+m=0①，把代入方程，得a2−3a−m=0②，再将①+②，解方程即可求出的值．【详解】∵a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，∴a2−3a+m=0①，a2−3a−m=0②，①+②，得2(a2−3a)=0，即a2−3a=0解得，故选：D．【点睛】考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．10．（2020·广东蛇口育才二中九年级月考）下列是关于x的一元二次方程的是（　　）A． B．C． D．(a、b、c为常数)【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】仅有一个未知数x，且x的最高次数为2，故A选项正确；，整理得，x的最高次数为1，故B选项错误；，为分式方程，故C选项错误；(a、b、c为常数)，a可以为0，故D选项错误；故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，要注意应仅有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式一元二次方程．11．（2020·阜宁县实验初级中学九年级月考）下列方程中是关于的一元二次方程的是（      ）A． B．C． D．【答案】B【分析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】x2+=0是分式方程，不是整式方程，故A选项错误；整理为，符合一元二次方程的定义，故B选项正确；当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C选项错误；该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程，故D选项错误.故答案选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义．  12．（2020·成都市青羊实验中学）下列方程中，是一元二次方程的有（    ）个①；②；③；④；⑤．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．【详解】①变形为，是一元二次方程；②，整理变形为，最高次数为4，不是一元二次方程；③，变形为，是一元二次方程；④变形为，不是一元二次方程；⑤，是分式方程；故①③满足，共有个一元二次方程故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．13．（2020·鞍山市第五十一中学九年级月考）若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（    ）A．2 B．3 C．3或2 D．【答案】A【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得．【详解】解：由一元二次方程的定义得： 解得关于x的一元二次方程有一个根为0，∴，解得或（与不符，舍去），故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握定义和方程的解法是解题关键．14．（2020·重庆市南川中学校）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】移项得：，配方得：，即故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、填空题15．（2021·江苏九年级专题练习）若 a 是方程 x2﹣x+5=0 的一个根，则代数式 a2﹣a 的值是___．【答案】-5【分析】把a代入方程x2﹣x+5=0,得a的代数式的值,从而求得代数式a2-a的值.【详解】解:把x=a代入方程x2﹣x+5=0,得a2-a+5=0,a2-a=-5.故答案：-5.【点睛】此题主要考查了方程解的定义和整体思想的运用.16．（2021·广东九年级专题练习）方程的根是______________．【答案】，【分析】用直接开方法即可得出答案.【详解】解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x∴，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开方法，属于一元二次方程的基础知识，比较简单.17．（2021·全国九年级）某纸箱厂第1年的利润为50万元，如果每一年比上一年的利润增长率相同，都是x，则第3年的利润为____万元．【答案】50（1+x）2试题分析：根据题意可知：第2年的利润为：50(1+x)万元，第3年的利润为：50(1+x)(1+x)=万元．18．（2021·江苏九年级专题练习）方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a________时，它是一元二次方程；当a________时，它是一元一次方程．【答案】≠±2,    =-2    【分析】分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可.【详解】解:(1)方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元二次方程,a2-4≠0,a≠2;(2) 方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元一次方程,解得:a=-2.【点睛】此题比较简单,解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义:(1)只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程;(2)只含有一个未知数,且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程.19．（2021·江苏九年级专题练习）方程转化为一元二次方程的一般形式是________．【答案】 【分析】方程去括号,移项合并,整理为一般形式即可.【详解】解:方程整理得:,故答案为:.【点睛】考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.20．（2021·北京市第三十五中学九年级开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_______．【答案】且【分析】利用一元二次方程根与系数的关系判断即可得出答案.【详解】，解得又方程为一元二次方程，∴故答案为：且.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根.21．（2021·广东九年级专题练习）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．【答案】7【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．【详解】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．所以三角形的周长为7．故答案为7．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．22．（2021·江苏九年级专题练习）如果关于的一元二次方程的一个解是，则______．【答案】2020【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．【详解】把代入方程得：，
∴，
∴ ．
故答案为：2020．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 23．（2021·江苏九年级专题练习）关于的方程是一元二次方程，则的值为_______．【答案】-2【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．【详解】因为关于 x的方程是一元二次方程所以且解得m=-2故答案为-2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．三、解答题24．（2020·平潭翰英中学九年级月考）为了加快城镇化建设，某镇对一条道路进行改造，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作施工y天，完成此项工程，试用含a的代数式表示y；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【答案】（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天；（2）y＝20－；（3）甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程.【分析】(1)设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队单独完成此项工程需要(x+30)天,20天甲的工作量加乙的工作量等于工作总量1列方程得:20(＋)＝1,解得x1＝30，x2＝－20,然后进行检验确定满足题意的x,再计算x+30;(2)设工作总量为1,则可得到甲、乙两工程队的工作效率分别为,,用剩余的工作量除以甲、乙两工程队的工作效率的和得到y;(3)设甲工程队单独施工a天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,利用(2)的结论得到1×a＋(1＋2.5)(20－)≤64,然后解不等式确定a的最小值.【详解】解：(1)设乙独做x天完成此项工程，则甲独做(x＋30)天完成此项工程．由题意得：20(＋)＝1，整理得：x2－10x－600＝0，解得：x1＝30，x2＝－20，经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意舍去，x＋30＝60答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．(2)由题意得：，整理得：y＝20－.(3)设甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，施工费不超过64万元．由题意得：1×a＋(1＋2.5)(20－)≤64.解得：a≥36.答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用:列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.也考查了一元一次不等式的应用.25．（2021·江苏九年级专题练习）解方程：x2+6x﹣2=0.【答案】x=﹣3±.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解.【详解】∵x2+6x﹣2=0，∴x2+6x=2，则x2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11，∴x+3=±，∴x=﹣3±.【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟悉其基本的步骤.26．（2021·江苏淮安市·九年级期末）解下列方程：（1）    （2）3x(x—1)=2—2x【答案】（1）x1=3+，x2=3－；（2）x1=，x2=1【分析】(1) 利用配方法求得方程的解即可;(2) 先将等式右边移项, 再因式分解, 然后求解即可.【详解】解：（1），，解得：，(2) 3x(x—1)=2—2x，，【点睛】本题主要考查解一元二次的解法：配方法、因式分解法.27．（2021·江苏九年级专题练习）x2－4x＋2＝0(配方法);【答案】x1＝2＋，x2＝2－ 【分析】(1)方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解(1)方程变形得: x2－4x=-2配方得: x2-4x+4=2,即(x-2) 2=2,开方得:x-2=,解得:;.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法-配方法.28．（2020·商丘市第一中学九年级月考）如图，Rt△ABC中∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示BQ为　　cm，PB为　　cm；（2）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根据路程=速度×时间求出BQ，AP，再根据PB=AB-AP即可；（2）用含x的代数式表示出四边形APQC的面积，利用四边形APQC的面积为20建立一个关于x方程，解方程即可.若有解，则存在，若无解则不存在．【详解】（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8．∴BQ＝x，PB=AB-AP＝8﹣2x；（2）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，则 解得x1＝x2＝2．假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2．故答案为（1）；（2）存在，．【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键．   29．（2021·湖南九年级期末）已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）y是变量k的函数.【分析】（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△得，而k是整数，则2k－1≠0，得到△＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根，（2）先根据求根公式求出一元二次方程的解为x=3或x=，而k是整数，x1＜x2，则有x1=，x2=3，代入得到即可得出结论，【详解】（1）方程是一元二次方程，∴k≠0，，∵k是整数，∴k≠，2k－1≠0，∴＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）y是k的函数，解方程得，∴x=3或x=，∵k是整数，∴≤1，∴≤2＜3，又∵x1＜x2，∴x1=，x2=3，∴，∴y是变量k的函数.30．（2021·江苏九年级专题练习）已知x1、x2是关于x的方程x2–2（m+1）x+m2+5=0的两个不相等的实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长．【答案】(1)m>2；(2)三角形的周长为17．【分析】(1)由根的判别式即可得；(2)由题意得出方程的另一根为7,将x=7代入求出x的值，在根据三角形三边之间的关系判断可得答案.【详解】(1)由题意得Δ=＞0，解得m＞2； (2)由题意，∵≠时，∴只能取=7或=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49–14（m+1）++5=0，解得m=4或m=10， 当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式, 三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键.31．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）（1）        （2）【答案】（1），；（2），；【分析】根据公式法和因式分解法的解题步骤进行计算即可得到结论；【详解】（1），∵，，，，∴，．（2）∵，∴，∴，．【点睛】本题考查一元二次方程解法，选择恰当的解题方法是解题的关键．   32．（2020·河南郑州市第十九初级中学九年级月考）已知：矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【答案】（1）m＝1时，四边形ABCD是正方形，；（2）矩形ABCD的周长是5【分析】（1）根据正方形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出正方形的边长；（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△＝m2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，（m﹣1）2＝0时，即m＝1时，四边形ABCD是正方形，把m＝1代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+＝0，解得：x＝，∴正方形ABCD的边长是；（2）把AB＝2代入x2﹣mx+﹣＝0，得4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝，把m＝代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+1＝0，解得x＝2或x＝，∴AD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD的周长是．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、正方形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据正方形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．33．（2020·陕西九年级月考）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长．（1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽；（2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．【答案】（1）矩形场地的长为，宽为；（2）不能围成一个面积为的矩形场地，理由见详解．【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可；（2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可．【详解】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为，依题意，得：，整理，得：，解得：，∴．答：矩形场地的长为，宽为．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，依题意，得：，整理，得：，∵，∴不能围成一个面积为的矩形场地．【点睛】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边． 34．（2021·全国九年级）已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．（1）求的值．（2）求的值．（3）若，，为整数，且，试求，，的值．【答案】（1）；（2）；（3），，．【分析】（1）因为是的一个因式，所以方程的解方程的解，代入解即可求得；（2）根据（1）中a、b、c的关系即可求得；（3）根据（1）中a、b、c的关系，和，，为整数，即可求得．【详解】（1）是的一个因式，，即，是方程的解，，得：③，．（2）由③得：④，④代入①得：⑤，．（3），，，解得：，又，均为大于的整数，可取的值有，，，，，又为正整数，，，则，，，．【点睛】本题考查多项式的因式和一元二次方程，掌握多项式与因式之间的关系并正确求出系数的关系是解题的关键．