专题23 参数及点的坐标(横或纵)型取值范围模型(原卷版)

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[例1] (2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

[规范解答] (1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，
故C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1．
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，
即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1．③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2)．又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4．
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2)．
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．
[例2] 已知m>1，直线l：x－my－eq \f(m2,2)＝0，椭圆C：eq \f(x2,m2)＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
[规范解答] (1)因为直线l：x－my－eq \f(m2,2)＝0经过F2(eq \r(m2－1)，0)，所以eq \r(m2－1)＝eq \f(m2,2)，得m2＝2．
又因为m>1，所以m＝eq \r(2)，故直线l的方程为x－eq \r(2)y－1＝0．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(m2,2)，,\f(x2,m2)＋y2＝1，))消去x，得2y2＋my＋eq \f(m2,4)－1＝0，
则由Δ＝m2－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)－1))＝－m2＋8>0，知m20)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2＝eq \f(a2b2,a2＋b2)，若抛物线y2＝4x的焦
点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明：原点O到直线AB的距离是定值，并求实数m的取值范围．
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距
离为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
7．过椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(00)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥
PF1．
(1)若|PF1|＝2＋eq \r(2)，|PF2|＝2－eq \r(2)，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且eq \f(3,4)≤λ