专题24 长度和距离型取值范围模型(解析版)

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[例1] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．
(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0≥\f(1,2)))，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．
[规范解答] (1)由题意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，|FA|＝3＋eq \f(p,2)，则D(3＋p，0)，FD的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\f(3p,4)，0))，
则eq \f(3,2)＋eq \f(3p,4)＝3，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x．
(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则E(x2，－y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋x0，))消去x，得y2－4my－4x0＝0，x0≥eq \f(1,2)．
所以Δ＝16m2＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，
设P的坐标为(xP，0)，则eq \(PE,\s\up6(→))＝(x2－xP，－y2)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(x1－xP，y1)，
由题意知eq \(PE,\s\up6(→))∥eq \(PA,\s\up6(→))，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，即x2y1＋y2x1＝eq \f(y\\al(2,2)y1＋y\\al(2,1)y2,4)＝eq \f(y1y2(y1＋y2),4)＝(y1＋y2)xP，
显然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝eq \f(y1y2,4)＝－x0，即证P(－x0，0)，由题意知△EPB为等腰直角三角形，
所以kAP＝1，即eq \f(y1＋y2,x1－x2)＝1，也即eq \f(y1＋y2,\f(1,4)(y\\al(2,1)－y\\al(2,2)))＝1，
所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16，即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x00)的离心率为eq \f(\r(2),2)，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求弦长|AB|的取值范围．
[规范解答] (1)由已知e＝eq \f(\r(2),2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，又当直线垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)，
所以椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，代入椭圆方程得eq \f(1,a2)＋eq \f(1,2b2)＝1，
∵a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，
λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)＋1,\r(2)－1)＝3＋2eq \r(2)>2或λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2)b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝eq \f(5,4)，求原点O到直线l的距离的取值范围．
1．解析 (1)由题知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝2，又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f (1,2k)))2－1，化简得|k|>eq \f (\r(2),2)．③
焦点F2(1，0)到直线l：y＝kx＋m的距离d＝eq \f (|k＋m|,\r(1＋k2))＝eq \f (\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2k＋\f (1,2k))),\r(1＋k2))＝eq \f (2＋\f (1,2k2),\r(\f (1,k2)＋1))，
令t＝eq \r(\f (1,k2)＋1)，由|k|>eq \f (\r(2),2)知t∈(1，eq \r(3))．于是d＝eq \f (\f (t2＋3,2),t)＝eq \f (1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f (3,t)))，
因为函数f (t)＝eq \f (1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f (3,t)))在[1，eq \r(3)]上单调递减，所以f (eq \r(3))1)，因为t>1，0b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，直线x＋eq \r(3)y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截
得的弦长为eq \r(3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
6．解析 (1)原点到直线x＋eq \r(3)y－1＝0的距离为eq \f(1,2)，由题得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝b2(b>0)，解得b＝1．
又e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，得a＝2．所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12．
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0．
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，所以y1y2＝eq \f(12,m2＋4)．
λ＝|MA|·|MB|＝eq \r(m2＋1)|y1|·eq \r(m2＋1)|y2|＝(m2＋1)|y1y2|＝eq \f(12（m2＋1）,m2＋4)＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,m2＋4)))．
由m2>12，得0