专题24 长度和距离型取值范围模型(原卷版)

这是一份专题24 长度和距离型取值范围模型(原卷版)，共12页。
[例1] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．
(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0≥\f(1,2)))，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．
[规范解答] (1)由题意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，|FA|＝3＋eq \f(p,2)，则D(3＋p，0)，FD的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\f(3p,4)，0))，
则eq \f(3,2)＋eq \f(3p,4)＝3，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x．
(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则E(x2，－y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋x0，))消去x，得y2－4my－4x0＝0，x0≥eq \f(1,2)．
所以Δ＝16m2＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，
设P的坐标为(xP，0)，则eq \(PE,\s\up6(→))＝(x2－xP，－y2)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(x1－xP，y1)，
由题意知eq \(PE,\s\up6(→))∥eq \(PA,\s\up6(→))，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，即x2y1＋y2x1＝eq \f(y\\al(2,2)y1＋y\\al(2,1)y2,4)＝eq \f(y1y2(y1＋y2),4)＝(y1＋y2)xP，
显然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝eq \f(y1y2,4)＝－x0，即证P(－x0，0)，由题意知△EPB为等腰直角三角形，
所以kAP＝1，即eq \f(y1＋y2,x1－x2)＝1，也即eq \f(y1＋y2,\f(1,4)(y\\al(2,1)－y\\al(2,2)))＝1，
所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16，即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x00)的离心率为eq \f(\r(2),2)，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求弦长|AB|的取值范围．
[规范解答] (1)由已知e＝eq \f(\r(2),2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，又当直线垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)，
所以椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，代入椭圆方程得eq \f(1,a2)＋eq \f(1,2b2)＝1，
∵a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，
λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)＋1,\r(2)－1)＝3＋2eq \r(2)>2或λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2)b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝eq \f(5,4)，求原点O到直线l的距离的取值范围．
2．已知椭圆C：eq \f (x2,a2)＋eq \f (y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f (\r(2),2)))，且离心率为eq \f (\r(2),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B．如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l的距离d的取值范围．
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝teq \(OP,\s\up6(→))，其中t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)，2))，求|AB|的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)与直线l0：y＝x＋2eq \r(2)相切，点A为圆C1上一动
点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))，设动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝
－eq \f(1,4)，求|OT|的取值范围．
5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝eq \f(1,2)，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2
面积的最大值为4eq \r(3)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝0，求|eq \(AC,\s\up7(→))|＋|eq \(BD,\s\up7(→))|的取值范围．
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，直线x＋eq \r(3)y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截
得的弦长为eq \r(3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
7．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与过点M(a，0)(a>0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB．
(1)确定p与a的数量关系；
(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．