专题22 斜率型取值范围模型(原卷版)

这是一份专题22 斜率型取值范围模型(原卷版)，共11页。试卷主要包含了圆锥曲线中范围问题的基本类型，已知右焦点为F2的椭圆C等内容，欢迎下载使用。
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
3．圆锥曲线中范围问题的基本类型
圆锥曲线中的范围问题主要有以下四种情况：
(1)斜率型；(2)参数及点的坐标(横或纵)型；(3)长度和距离型；(4)面积与数量积型．
【例题选讲】
[例1] 设椭圆eq \f (x2,a2)＋eq \f (y2,3)＝1(a>eq \r(3))的右焦点为F，右顶点为A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程及离心率e的值；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H．若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
[破题思路] 由题目条件垂直于直线l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，利用k·kMH＝－1，建立关于k的两条直线方程，由题目条件∠MOA≤∠MAO，利用三角形的大角对大边，建立关于xM的不等式，利用题目条件BF⊥HF，即eq \(BF,\s\up7(→))·eq \(HF,\s\up7(→))＝0建立关系式．
[规范解答]
(1)由题意可知|OF|＝c＝eq \r(a2－3)，又|OA|－|OF|＝1，所以a－eq \r(a2－3)＝1，解得a＝2，
所以椭圆的方程为eq \f (x2,4)＋eq \f (y2,3)＝1，离心率e＝eq \f (c,a)＝eq \f (1,2)．
(2)设M(xM，yM)，易知A(2，0)，在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋yeq \\al(2,M)≤xeq \\al(2,M)＋yeq \\al(2,M)，化简得xM≥1．
设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (x2,4)＋\f (y2,3)＝1，,y＝k(x－2)))消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
解得x＝2或x＝eq \f (8k2－6,4k2＋3)．由题意得xB＝eq \f (8k2－6,4k2＋3)，从而yB＝eq \f (－12k,4k2＋3)．
由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，则eq \(FH,\s\up7(→))＝(－1，yH)，eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (9－4k2,4k2＋3)，\f (12k,4k2＋3)))．
由BF⊥HF，得eq \(BF,\s\up7(→))·eq \(FH,\s\up7(→))＝0，即eq \f (4k2－9,4k2＋3)＋eq \f (12kyH,4k2＋3)＝0，解得yH＝eq \f (9－4k2,12k)，
所以直线MH的方程为y＝－eq \f (1,k)x＋eq \f (9－4k2,12k)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(y＝k(x－2)，,y＝－\f (1,k)x＋\f (9－4k2,12k)，)))消去y，得xM＝eq \f (20k2＋9,12(k2＋1))．
由xM≥1，得eq \f (20k2＋9,12(k2＋1))≥1，解得k≤－eq \f (\r(6),4)或k≥eq \f (\r(6),4)，
所以直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f (\r(6),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(6),4)，＋∞))．
[题后悟通] 利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思想，将几何关系转化为代数不等式，从而构建出目标不等式．
[例2] 已知A是椭圆E：eq \f (x2,t)＋eq \f (y2,3)＝1(t>3)的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[破题思路] (1)求△AMN的面积，想到三角形的面积公式S＝eq \f (1,2)×底×高或S＝eq \f (1,2)absin C，题目条件中给出“MA⊥NA，|AM|＝|AN|”，得△AMN为等腰直角三角形，故可利用面积S＝eq \f (1,2)|AM||AN|求解．到此就缺少|AM|，|AN|的值，由于A点已知，故想法求M，N的坐标．
(2)题目条件中给出2|AM|＝|AN|，可利用此条件建立t与k的关系式，缺少关于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式．
[规范解答]
(1)由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1．
因为t＝4，所以A(－2，0)，所以直线AM的方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程eq \f (x2,4)＋eq \f (y2,3)＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－eq \f (2,7)，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (2,7)，\f (12,7)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (2,7)，－\f (12,7)))，则△AMN的面积为eq \f (1,2)×eq \f (24,7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (2,7)＋2))＝eq \f (144,49)．
(2)由题意知t>3，k>0，A(－eq \r(t)，0)，
将直线AM的方程y＝k(x＋eq \r(t))代入eq \f (x2,t)＋eq \f (y2,3)＝1得(3＋tk2)x2＋2eq \r(t)·tk2x＋t2k2－3t＝0，
设M(x1，y1)，则x1·(－eq \r(t))＝eq \f (t2k2－3t,3＋tk2)，即x1＝eq \f (\r(t)(3－tk2),3＋tk2)，故|AM|＝|x1＋eq \r(t)|eq \r(1＋k2)＝eq \f (6\r(t(1＋k2)),3＋tk2)．
由题设知，直线AN的方程为y＝－eq \f (1,k)(x＋eq \r(t))，故同理可得|AN|＝eq \f (6k\r(t(1＋k2)),3k2＋t)．
由2|AM|＝|AN|，得eq \f (2,3＋tk2)＝eq \f (k,3k2＋t)，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝eq \r(3,2)时上式不成立，因此t＝eq \f (3k(2k－1),k3－2)．由t>3，得eq \f (3k(2k－1),k3－2)>3，
所以eq \f (k3－2k2＋k－2,k3－2)＝eq \f ((k－2)(k2＋1),k3－2)0，所以k2b>0)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过
坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的任意一点M到直线y＝－1的距离比M点到点F(0，2)的距离小1．
(1)求动点M的轨迹C1的方程；
(2)若点P是圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作曲线C1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB斜率的取值范围．