专题12 范围问题模型(原卷版)

这是一份专题12 范围问题模型(原卷版)，共6页。试卷主要包含了用函数思想解决的模型，已知过抛物线C，已知椭圆C，已知P是椭圆C，设A，B是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
1．用函数思想解决的模型
【例题选讲】
[例1] (1)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的取值范围为________．
答案 [3＋2eq \r(3)，＋∞) 解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝eq \r(3)，设P(x，y)，x≥eq \r(3)，eq \(FP,\s\up7(→))＝(x＋2，y)，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq \f(x2,3)－1＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(7,4)，因为x≥eq \r(3)，所以eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的取值范围为[3＋2eq \r(3)，＋∞)．
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．
答案 [5，7] 解析 如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7．又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5．∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]．
(3)在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，则eq \(F1P,\s\up7(→))与eq \(F2Q,\s\up7(→))的夹角余弦值的范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3))) 解析 设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点坐标为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，∵eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，可得y2∈[1,2]．故eq \(F1P,\s\up7(→))与eq \(F2Q,\s\up7(→))的夹角θ满足：cs θ＝eq \f(\(F1P,\s\up7(→))·\(F2Q,\s\up7(→)),|\(F1P,\s\up7(→))|·|\(F2Q,\s\up7(→))|)＝eq \f(x2－2－y2,\r(x2＋2＋y22－8x2))＝eq \f(2－3y2,y2＋2)＝－3＋eq \f(8,y2＋2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))．
【对点训练】
1．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
2．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR
并延长交抛物线C于点S，则eq \f(|OS|,|OR|)的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
3．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有
四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
2．用建立不等关系解决的的模型
【例题选讲】
[例2] (4)已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0