专题07 双曲线模型(原卷版)

这是一份专题07 双曲线模型(原卷版)，共7页。试卷主要包含了如图，故选A，已知双曲线C，已知F1，F2是双曲线C，已知双曲线Γ，已知F1，F2为双曲线C，过点P作一直线AB与双曲线C等内容，欢迎下载使用。
(1)双曲线定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．如图(10)
图(10) 图(11) 图(12)
(2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a；
(4)如图(13)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2eq \f(1,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2．

图(13) 图(14)
(5)如图(14)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率k＝±eq \f(b,a)与离心率e的关系：e＝eq \r(1＋\f(b,a)2)＝eq \r(1＋k2)．
(6)若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a；
(7)如图(15)设P，A，B是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．

图(15) 图(16)
(8)如图(16)设A，B是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
【例题选讲】
[例2] (9)过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B 解析 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(1,2)x，点P在直线y＝eq \f(1,2)x上．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1－2k，,x2－4y2＝4，))消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)．若1－4k2＝0，则k＝±eq \f(1,2)，当k＝eq \f(1,2)时，方程(*)无实数解，因此k＝eq \f(1,2)不满足题意；当k＝－eq \f(1,2)时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－eq \f(1,2)满足题意．若1－4k2≠0，即k≠±eq \f(1,2)，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．综上所述，满足题意的直线l共有2条．
(10)(2018·全国Ⅱ)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
答案 A 解析 法一：由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A．
法二：由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A．
(11)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±2x D．y＝±2eq \r(2)x
答案 A 解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cs60°，∴c＝eq \r(3)a，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a．∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．故选A．
(12)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 A 解析 如图，设MN的中点为P．∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3．故选A．
(13)(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．2eq \r(3) D．4
答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \f(1,\r(3)) x．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝eq \r(3)．则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝eq \r(3)·tan 60°＝3．故选B．
(14)(2019·全国Ⅲ)双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A．eq \f(3\r(2),4) B．eq \f(3\r(2),2) C．2eq \r(2) D．3eq \r(2)
答案 A 解析 双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点坐标为(eq \r(6)，0)，一条渐近线的方程为y＝eq \f(\r(2),2)x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为eq \f(\r(6),2)，纵坐标为eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(\r(3),2)，即△PFO的底边长为eq \r(6)，高为eq \f(\r(3),2)，所以它的面积为eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(2),4)．故选A．
【对点训练】
9．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(1，0)作x轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，O为坐标
原点，若△AOB的面积为eq \f(8,3)，则双曲线的渐近线方程为________．
10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶eq \r(2)，则C的
渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±2x D．y＝±eq \r(3)x
11．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2
上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±3x D．y＝±eq \r(2)x
12．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，
且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \f(1,2)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \r(2)x
13．已知F2，F1是双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别
交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±eq \r(6)x D．y＝±eq \f(\r(6),6)x
14．已知F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2
最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．eq \r(2)x±y＝0 B．x±eq \r(2)y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
15．已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC
＝θ，若Γ的离心率为eq \r(2)，则( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．θ＝eq \f(π,2) C．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D．θ＝eq \f(3π,4)
16．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________．
17．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F
为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．
18．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
19．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1相交于A、B两点，若P为AB中点，则|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
20．已知双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，则△
PF1F2的面积为( )
A．1 B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \f(1,2)
21．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，
若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A．2eq \r(15)a2 B．eq \r(15)a2 C．30a2 D．15a2
22．已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使
eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，则eq \(F2P,\s\up6(→))·eq \(F2F1,\s\up6(→))的值为( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2