专题08 抛物线模型(解析版)

这是一份专题08 抛物线模型(解析版)，共20页。试卷主要包含了如图，过抛物线C，已知直线l，已知抛物线M，已知直线y＝k与抛物线C，已知抛物线E等内容，欢迎下载使用。
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)

图(17) 图(18)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)；如图(18)
③eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin 2 θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)

图(19) 图(20)
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)

图(21) 图(22)
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|MN|min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|a≤p，,\r(2pa－p2)a>p.))
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
图(23)
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－eq \f(p,2)；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xA＋xB,2)，－\f(p,2)))．
【例题选讲】
[例3] (15)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
答案 C 解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，在Rt△AEF中，cs∠EAF＝eq \f(|AE|,|AF|)＝eq \f(1,2)，∴∠EAF＝eq \f(π,3)，即直线FA的倾斜角为eq \f(π,3)，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为eq \f(2π,3)．
(16)(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq \f(4,k)y－4＝0，则y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1与y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))所以yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，则k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
答案 4 解析 [一般解法] 设AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋eq \f(p,2)＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋eq \f(p,2)＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6eq \r(2)，易知∠BAC＝α，所以sin α＝eq \f(6\r(2),9)＝eq \f(2\r(2),3)，所以|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，则有eq \f(p,1－cs α)＝2×eq \f(p,1＋cs α)，解得cs α＝eq \f(1,3)，又|AF|＝eq \f(p,1－cs α)＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，eq \f(2,p)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，∴p＝4．
(18)(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
答案 6 解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝eq \f(1,2)|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C．eq \f(16,3) D．eq \f(20,3)
答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3，2eq \r(3))，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3)．故选C．
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3)．
法二 因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3)．
(20)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B．eq \f(9,2) C．5 D．6
答案 B 解析 [一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2)．
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2)．则sin2θ＝8cs2θ，∴sin2θ＝eq \f(8,9)．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2)．
法二 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2)．
(21)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．eq \f(3\r(3),4) B．eq \f(9\r(3),8) C．eq \f(63,32) D．eq \f(9,4)
答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq \r((yA＋yB)2－4yAyB)＝6．因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4)．联立方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0，故xA＋xB＝eq \f(21,2)．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝eq \f(|－3|,\r(42＋(－4\r(3))2))＝eq \f(3,8)，因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(9,4)．
[应用结论] 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4)．
(22)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,4)
答案 C 解析 解法1 设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±eq \r(2)．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋eq \r(2))(x－2)－1，y＝(1－eq \r(2))·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(eq \r(2)＋1，0)，F(1－eq \r(2)，0)，即|EF|＝2eq \r(2)．∴S△PEF＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，易求得A(2＋2eq \r(2)，3＋2eq \r(2))，B(2－2eq \r(2)，3－2eq \r(2))，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝eq \f(\r(2),2)，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)．∴△PEF与△OAB的面积之比为eq \f(1,2)．故选C．
解法2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y1,x1)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y2,x2)，0))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，0))，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝2(－1＋y1)，,2x2＝2(－1＋y2)，))所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则eq \f(S△PEF,SOAB)＝eq \f(\f(1,2)×1×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)－\f(x2,2))),\f(1,2)×1×|x1－x2|)＝eq \f(1,2)．
【对点训练】
23．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点
N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
23．答案 B 解析 分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′(图略)，由抛物线的
定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝eq \f(1,2)|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B．
24．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|＝
|AF|＝3，则直线l的斜率为( )
A．±1 B．eq \r(2) C．±eq \r(2) D．2eq \r(2)
24．答案 C 解析 因为点A在抛物线y2＝4x上，且|AP|＝|AF|＝3，点P在抛物线的准线上，由抛物线
的定义可知，AP⊥准线，设A(x，y)，则|AP|＝x＋eq \f(p,2)＝x＋1＝3，解得x＝2，所以y2＝8，故A(2，±2eq \r(2))，故P(－1，±2eq \r(2))，又F(1，0)，所以直线l的斜率为kPF＝eq \f(±2\r(2),－2)＝±eq \r(2)．故选C．
25．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，
若2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，则实数k等于( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．±1 C．±eq \r(3) D．±2
25．答案 C 解析 抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点．当k>0时，
如图所示，
过点M作MM′垂直于准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，得cs∠M′MN＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(1,2)，则tan∠M′MN＝eq \r(3)，∴直线l的斜率k＝eq \r(3)；当k0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1
＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x,y＝kx＋2))，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝eq \f(8－4k2,k2)＝eq \f(8,k2)－4．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x2＋2,x1x2＝4))，得xeq \\al(2,2)＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴eq \f(8,k2)－4＝5，∴k2＝eq \f(8,9)，k＝eq \f(2\r(2),3)．
解法2 设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝eq \f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，2eq \r(2))，所以k＝eq \f(2\r(2)－0,1－(－2))＝eq \f(2\r(2),3)．故选D．
28．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝0，则eq \f(1,kAB)
＋eq \f(1,kAC)＋eq \f(1,kBC)＝________．
28．答案 0 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，由eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＝－eq \(FC,\s\up7(―→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(p,2)，y1))
＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(p,2)，y2))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(p,2)，y3))，y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2p,y1＋y2)，kAC＝eq \f(y3－y1,x3－x1)＝eq \f(2p,y1＋y3)，kBC＝eq \f(y3－y2,x3－x2)＝eq \f(2p,y2＋y3)，所以eq \f(1,kAB)＋eq \f(1,kAC)＋eq \f(1,kBC)＝eq \f(y1＋y2,2p)＋eq \f(y3＋y1,2p)＋eq \f(y2＋y3,2p)＝eq \f(y1＋y2＋y3,p)＝0．
29．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B
两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
29．答案 2 解析 当k不存在时，直线与抛物线不会交于两点．当k存在时(如图)，设直线AB的方程
为y＝kx＋eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))．则有xeq \\al(2,1)＝2py1，xeq \\al(2,2)＝2py2，联立直线与抛物线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py，))整理得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，x1＋x2＝2pk，所以y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2＋\f(p,2)))＝eq \f(p2,4)，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，\f(p,2)－y1))，eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，－\f(p,2)－y1))．又AB⊥AD，所以－x1(－x1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－y1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－y1))＝0，整理得xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝eq \f(p2,4)，即2py1＋yeq \\al(2,1)＝eq \f(p2,4)，解得y1＝eq \f(\r(5)－2,2)p．因为y1y2＝eq \f(p2,4)，所以y2＝eq \f(\r(5)＋2,2)p，又|AF|＝y1＋eq \f(p,2)，|BF|＝y2＋eq \f(p,2)，代入|BF|＝|AF|＋4得，y2＋eq \f(p,2)＝y1＋eq \f(p,2)＋4．解得p＝2．
30．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O
为坐标原点)时，|PF|＝________.
30．答案 eq \f(4,3) 解析 法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq \f(2\r(3),3)．设
P(x0，y0)，则x0＝±eq \f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq \f(1,3)，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq \f(4,3)．
法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝eq \f(2,cs 30°)＝eq \f(4\r(3),3)，∴|PF|＝eq \f(|AF|,\r(3))＝eq \f(4,3)．
31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂
足．若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则线段PF的长为________．
31．答案 6 解析 由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，因为直线AF
的斜率为－eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
当x＝－eq \f(3,2)时，y＝3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq \r(3)，可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6．
32．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，
M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于( )
A．2 B．eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3
32．答案 A 解析 由抛物线C：y2＝4x，得焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥QF，所以四边形QMRF为平行四边形，|FR|＝|QM|，又由PQ垂直l于点Q，可知|PQ|＝|PF|，因为∠NFR＝60°，所以△PQF为等边三角形，所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故选A．
33．已知y2＝4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2＝4x于A，B，两点∠AFB
＝60°，则|AB|等于( )
A．eq \f(4\r(7),6) B．eq \f(4\r(7),3) C．4 D．3
33．答案 B 解析 设A(x1,2eq \r(x1))，B(x2,2eq \r(x2))，x2>x1>0，因为kQA＝kQB，即eq \f(2\r(x2),x2＋1)＝eq \f(2\r(x1),x1＋1)，整理化简得x1x2
＝1，|AB|2＝(x2－x1)2＋(2eq \r(x2)－2eq \r(x1))2，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，代入余弦定理|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|cs60°，整理化简得，x1＋x2＝eq \f(10,3)，又因为x1x2＝1，所以x1＝eq \f(1,3)，x2＝3，|AB|＝eq \r((x2－x1)2＋(2\r(x2)－2\r(x1))2)＝eq \f(4\r(7),3)，故选B．
34．过抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
34．答案 eq \f(16,3) 解析 (1)依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，
直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋1，即x＝eq \r(3)(y－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x＝\r(3)(y－1)，))消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y1＋y2＝eq \f(10,3)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝eq \f(16,3)．
35．已知直线l过抛物线C：y2＝3x的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FP,\s\up6(→))，则|AB|
＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
35．答案 B 解析 如图所示：
不妨设A在第一象限，由抛物线C：y2＝3x可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，准线DP：x＝－eq \f(3,4)．因为eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FP,\s\up6(→))，所以F是AP的中点，则AD＝2CF＝3.所以可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(3\r(3),2)))，则kAF＝eq \r(3)，所以直线AP的方程为：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4))),y2＝3x))，整理得：x2－eq \f(5,2)x＋eq \f(9,16)＝0，所以x1＋x2＝eq \f(5,2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝4．故选B．
36．(2017·全国Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C
的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A．eq \r(5) B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)
36．答案 C 解析 由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝eq \r(3)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得x
＝eq \f(1,3)或x＝3．由M在x轴的上方，得M(3，2eq \r(3))，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4．又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)．
37．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))－3eq \(OF,\s\up8(→))＝0，
则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
37．答案 eq \f(9,4) 解析 依题意得，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程是y＝－1，因为2(eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OF,\s\up8(→)))＋(eq \(OB,\s\up8(→))－
eq \(OF,\s\up8(→)))＝0，即2eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4 ①；又2eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝0，因此2x1＋x2＝0 ②．由①②解得xeq \\al(2,1)＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为eq \f(1,2)[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＋1＝eq \f(1,8)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＋1＝eq \f(5xeq \\al(2,1),8)＋1＝eq \f(9,4)．
38．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，
则eq \f(|PQ|,|PF|)＝( )
A．eq \r(2) B．2 C．eq \r(5) D．5
38．答案 C 解析 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.
过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2x－1，x≤1，))得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2eq \r(5)．又|PF|＝|PP1|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)＝eq \f(|PQ|,|PP1|)＝eq \f(|QF|,|FF1|)＝eq \f(2\r(5),2)＝eq \r(5)，故选C．
39．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝eq \r(2)|PF|，则△PKF的
面积为________．
39．答案 8 解析 由已知得，F(2，0)，K(－2，0)，过P作PM垂直于准线于点M，则|PM|＝|PF|，又
|PK|＝eq \r(2)|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,2eq \r(2)m)(m＞0)，则m2＋2＝4，解得m＝eq \r(2)，故△PFK的面积S＝4×2eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝8．
40．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)时，△AMF
的面积为( )
A．1 B．eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
40．答案 C 解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)＝eq \f(|MA|,|MP|)＝eq \f(1,cs ∠AMP)，则cs∠
AMP＝eq \f(\r(2),2)，又0°0，y20)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝eq \r(3)恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
49．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3)p,3)，0)) 解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝kx＋b))消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝eq \f(－2kb＋2p,k2)，
x1x2＝eq \f(b2,k2)，∵kOA·kOB＝eq \r(3)，∴y1y2＝eq \r(3)x1x2，又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝eq \f(2bp,k)，∴eq \f(2bp,k)＝eq \r(3)·eq \f(b2,k2)，解得b＝eq \f(2\r(3)pk,3)，∴y＝kx＋eq \f(2\r(3)pk,3)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2\r(3)p,3)))．令x＝－eq \f(2\r(3)p,3)，得y＝0，∴直线l过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3)p,3)，0))．
50．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点
的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
50．答案 B 解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝eq \f(1,4)x2，则y′＝eq \f(1,2)x，则在点A
处的切线方程为y－y1＝eq \f(1,2)x1(x－x1)，化简得y＝eq \f(1,2)x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝eq \f(1,2)x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝eq \f(1,2)x1t－y1，－2＝eq \f(1,2)x2t－y2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝eq \f(1,2)xt－y，即直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,2)tx，因此直线AB恒过点(0，2)．
51．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝eq \r(3)(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点．若eq \(AF,\s\up8(―→))＝
meq \(FB,\s\up7(―→))，则m的值为________．
51．答案 3 解析 由题意知F(1,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)(x－1)，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(1,3)，,y1＝－\f(2\r(3),3)，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝2\r(3).))由A在x轴
上方，知A(3，2eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝(－2，－2eq \r(3))，eq \(FB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2\r(3),3)))，因为eq \(AF,\s\up7(―→))＝meq \(FB,\s\up7(―→))，所以m＝3．
52．设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且eq \(FN,\s\up6(→))＝λeq \(FM,\s\up6(→))(λ>0)，若|MF|
＝4，则λ等于( )
A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．3
52．答案 D 解析 如图，过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得eq \f(|MM′|,|FF′|)
＝eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(λ－1,λ)，
又|MF|＝4，∴|MM′|＝4，又|FF′|＝6，∴eq \f(|MM′|,|FF′|)＝eq \f(4,6)＝eq \f(λ－1,λ)，∴λ＝3．故选D．
53．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为
M，若eq \(MB,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，则实数λ为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．2 D．3
53．答案 C 解析 把点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))代入抛物线的方程得2＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2
＝4x，则B(－1，0)，设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,M),4)，yM))，则eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\r(2)))，eq \(MB,\s\up8(→))＝(－1－eq \f(yeq \\al(2,M),4)，－yM)，由eq \(MB,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－\f(yeq \\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C．
54．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、
C点，令eq \f(|AF|,|BF|)＝λ1，eq \f(|BC|,|BF|)＝λ2，则当α＝eq \f(π,3)时，λ1＋λ2的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
54．答案 B 解析 由题意知焦点的坐标为F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当α＝eq \f(π,3)时，直线AB的方程
为y＝eq \r(3)x－eq \r(3)，与抛物线方程联立得3x2－10x＋3＝0，∴x1＋x2＝eq \f(10,3)，x1x2＝1，解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，由题图可知，λ1＝eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(x1＋1,x2＋1)＝eq \f(3＋1,1＋\f(1,3))＝3，∵α＝eq \f(π,3)，∴λ2＝eq \f(|BC|,|BF|)＝2，∴λ1＋λ2＝5．故选B．
55．如图所示，抛物线y＝eq \f(1,4)x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设
A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
55．答案 B 解析 由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝eq \f(x,2)，则lAM：y－yA＝eq \f(xA,2)(x－xA)，即y＝eq \f(1,2)xAx－eq \f(x\\al(2,A),4)，lBM：y－yB＝eq \f(xB,2)(x－xB)，即y＝eq \f(1,2)xBx－eq \f(x\\al(2,B),4)，联立lAM与lBM的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)xAx－\f(x\\al(2,A),4)，,y＝\f(1,2)xBx－\f(x\\al(2,B),4)，))解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xA＋xB,2)，\f(xA·xB,4)))．设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B．