专题10 几何法解决的最值模型(解析版)

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[例1] (1)过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D 解析 由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称，设F′为椭圆另一焦点，则四边形PFQF′为平行四边形，由椭圆定义可知：|PF|＋|PF′|＋|QF|＋|QF′|＝4a＝20，又|PF|＝|QF′|，|QF|＝|PF′|，∴|PF|＋|QF|＝10，又PQ为椭圆内的弦，∴|PQ|min＝2b＝8，∴△PFQ周长的最小值为：10＋8＝18．故选D．
(2)已知点F为椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案 (0，－1) 解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2eq \r(2)．当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
(3)椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(6\r(5),5) C．eq \f(8\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
答案 C 解析 如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′．因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(8\r(5),5)，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5－4)＝1，所以此时△FMN的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(8\r(5),5)＝eq \f(8\r(5),5)．故选C．
(4)设P为双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C 解析 由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4，0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2．又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5．又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6．故选C．
(5)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A．eq \f(7,2) B．3 C．eq \f(5,2) D．2
答案 C 解析 抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,2)，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \f(5,2)．
(6)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))) 解析 因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq \f(1,2)，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))．
【对点训练】
1．已知椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2
的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．
1．答案 10 2eq \r(5) 解析 设F1是椭圆的左焦点．如图，连接AF1．由椭圆的对称性，结合椭圆的定
义知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周长最小，必有|AB|＝2b＝4，所以△ABF2的周长的最小值为10．S△ABF2＝S△AF1F2＝eq \f(1,2)×2c×|yA|＝eq \r(5)|yA|≤2eq \r(5)，所以△ABF2面积的最大值为2eq \r(5)．
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|
－|PF1|的最小值为________．
2．答案 －5 解析 由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|
＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝eq \r(（6－3）2＋（4－0）2)＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大
值为________，最小值为________．
3．答案 6＋eq \r(2) 6－eq \r(2) 解析 如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．所以|PA|＋|PF|＝|PA|
－|PF1|＋6．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
4．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，
则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
4．答案 7 解析 因为椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|
＋|AB|＝4a＝8，即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×eq \f(b2,a)＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7．
5．已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，
点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A．2eq \r(10)－5 B．2eq \r(10)－4 C．4eq \r(10)－11 D．4eq \r(10)－10
5．答案 A 解析 易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝
12．当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去．所以m＝4．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）2＋y2＝1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2－16x＋24＝0．又x≤2，所以x＝8－2eq \r(10)．故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－2eq \r(10))＝2eq \r(10)－5．
6．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|
＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
6．答案 C 解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|
＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12．
7．P是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双
曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋eq \f(\r(15),5) C．4＋eq \f(\r(15),5) D．2eq \r(2)＋1
7．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|
最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最值为2a＋1＝2eq \r(2)＋1．故选D．
8．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线上在第一
象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A．8 B．10 C．4＋3eq \r(7) D．3＋3eq \r(17)
8．答案 B 解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＝\f(2\r(3),3)，,c＝\r(7)，,c2＝a2＋b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，,c2＝7，))则双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1，设双曲线
的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，又点P在第一象限，则|PF′|＋|PA|的最小值为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10．
9．过双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，
切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13 C．16 D．19
9．答案 B 解析 由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2
－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．故选B．
10．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
10．答案 A 解析 由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的
定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A．
11．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点
P的坐标为________．
11．答案 (2，2) 解析 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6)，∵eq \r(6)>2，∴A在抛物线内部．如
图，设抛物线上点P到准线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为eq \f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2)．
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，
2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．答案 B 解析 由题意知eq \f(p,2)＝2，即p＝4．过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则
|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3．
13．已知点M(x，y)是抛物线y2＝4x上的动点，则eq \r(x－22＋y－12)＋eq \r(x－12＋y2)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
13．答案 A 解析 因为eq \r(x－12＋y2)表示点M(x，y)到点F(1，0)的距离，即点M(x，y)到抛物线y2＝4x
的准线x＝－1的距离，因为eq \r(x－22＋y－12)表示点M(x，y)到点A(2,1)的距离，所以eq \r(x－22＋y－12)＋eq \r(x－12＋y2)的最小值为点A(2，1)到抛物线y2＝4x的准线x＝－1的距离3，即(eq \r(x－22＋y－12)＋eq \r(x－12＋y2))min＝3．故选A．
14．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，
则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．eq \r(2)＋1
14．答案 C 解析 由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过
圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．
15．已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：
x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
15．答案 A 解析 因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1，0)，所以可得以C(1，0)为焦点的抛物线方
程为y2＝4x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－12＋y2＝4，))解得A(1，2)．抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0，2)，准线方程为y＝－2，即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1．
16．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直
线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
16．答案 C 解析 如图，由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d＝|PF|，将圆
C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1，4)，半径为2，则|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号)．所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|＝eq \r(（－1－2）2＋（4－0）2)－2＝3，故选C．
17．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离
的最小值为( )
A．1 B．eq \f(7,4) C．2 D．5
17．答案 B 解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4)，
所求的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(x1＋\f(1,4)＋x2＋\f(1,4),2)－eq \f(1,4)＝eq \f(|MF|＋|NF|,2)－eq \f(1,4)，所以eq \f(|MF|＋|NF|,2)－eq \f(1,4)≥eq \f(|MN|,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)．
18．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距
离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
18．答案 eq \f(6\r(5),5)－1 解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连
接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即eq \f(6,\r(5))＝eq \f(6\r(5),5)，即m＋n的最小值为eq \f(6\r(5),5)－1．
19．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝eq \f(1,2)作切
线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．
19．答案 eq \f(1,2) 解析 如图所示：
圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM的面积最小，则MF最小，即M距离准线最近，故满足条件时，M与原点重合，此时MF＝1，BF＝BM＝eq \f(\r(2),2)，此时四边形AFBM面积S＝2S△BMF＝2×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)，故答案为eq \f(1,2)．
20．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，
则eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))的最小值为________．
20．答案 3 解析 如图，在Rt△QPF中，eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝|eq \(FP,\s\up6(→))||eq \(FQ,\s\up6(→))|cs∠PFQ＝|eq \(FP,\s\up6(→))||eq \(FQ,\s\up6(→))|eq \f(|\(PF,\s\up6(→))|,|\(FQ,\s\up6(→))|)＝|eq \(FP,\s\up6(→))|2＝|eq \(FQ,\s\up6(→))|2－1．由
抛物线的定义知：|eq \(FQ,\s\up6(→))|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|eq \(FQ,\s\up6(→))|min＝2，∴eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))的最小值为3．