专题03 离心率范围(最值)模型(解析版)

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【例题选讲】
[例8] (41)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
答案 B 解析 将x＝c代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)．将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(bc,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|＝eq \f(2bc,a)．因为|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，所以eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)×eq \f(2bc,a)，即b≥eq \f(3,5)c，则b2≥eq \f(9,25)c2，即c2－a2≥eq \f(9,25)c2，即eq \f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq \f(25,16)，所以e≥eq \f(5,4)，故选B．
(42)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
答案 C 解析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵点P到直线l∶4x＋3y＝0的距离不小于eq \f(6,5)，∴eq \f(|3b|,\r(16＋9))≥eq \f(6,5)，解得b≥2．∴c≤eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴0(43)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(eq \r(2)－1，＋∞) B．(0，eq \r(2)－1) C．(eq \r(2)－1，1) D．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
答案 C 解析 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，从而可得y＝±eq \f(b2,a)，不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))．由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，所以tan ∠AF1F2<1，所以tan∠AF1F2＝eq \f(AF2,F1F2)＝eq \f(\f(b2,a),2c)<1，故eq \f(a2－c2,2ac)<1，即e2＋2e－1>0，解得e>eq \r(2)－1或e<－eq \r(2)－1，又因为椭圆中，0(44)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为eq \r(3)，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
答案 A 解析 F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的上下两个焦点，可得2c＝2eq \r(4－m)，短半轴的长：eq \r(m)，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为eq \r(3)，可得eq \f(1,2)×2eq \r(4－m)×eq \r(m)>eq \r(3)，可得m2－4m＋3<0，解得m∈(1，3)，则椭圆C的离心率为：e＝eq \f(\r(4－m),2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))．
(45)已知椭圆 QUOTE x2a2 ＋ QUOTE y2b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使 QUOTE asin∠PF1F2 ＝ QUOTE csin∠PF2F1 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
思路点拨 在△PF1F2中，使用正弦定理建立|PF1|，|PF2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF2|，利用a－c<|PF2|答案 ( QUOTE 2 －1，1) 解析 根据已知条件∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0，即点P不会是椭圆的左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形，在△PF1F2中，由正弦定理得 QUOTE |PF2|sin∠PF1F2 ＝ QUOTE |PF1|sin∠PF2F1 ，则由已知，得 QUOTE a|PF2| ＝ QUOTE c|PF1| ，即|PF1|＝ QUOTE ca |PF2|，①．根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，②．由①②解得，|PF2|＝ QUOTE 2a1+ca ＝ QUOTE 2a2a+c ，因为a－c<|PF2|0，即e2＋2e－1>0，解得e<－ QUOTE 2 －1或e> QUOTE 2 －1，又e∈(0，1)，故椭圆的离心率e∈( QUOTE 2 －1，1)．
(46)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2 解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为eq \(AF,\s\up8(→))＝3eq \(BF,\s\up8(→))，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2．
(47)已知双曲线方程为 QUOTE x2m2+4 － QUOTE y2b2 ＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1， QUOTE 62 ] B．[ QUOTE 62 ，＋∞) C．(1， QUOTE 62 ) D．( QUOTE (((((62 ，＋∞)
答案 A 解析 过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为 QUOTE 2b2a ＝ QUOTE 2b2m2+4 ，a2＝m2＋4≥4，2a≥4>2，所以过焦点的最短弦长为 QUOTE 2b2a ＝ QUOTE 2b2m2+4 =2，即b2＝ QUOTE m2+4 ≥2，e＝ QUOTE ca = QUOTE m2+b2+4m2+4 ＝ QUOTE b4+b2b2 ＝，0< QUOTE 1b2 ≤ QUOTE 12 ，所以1<1+ QUOTE 1b2 ≤ QUOTE 32 ，1< QUOTE 1+1b2 ≤ QUOTE 62 ，即e∈(1， QUOTE 62 ]．故选A．
(48)椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2，3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－eq \f(1,e)的最小值是________．
答案 －eq \f(\r(2),2) 解析 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，∴2b2≤a2≤3b2，即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴eq \f(1,2)≤eq \f(c2,a2)≤eq \f(2,3)，即eq \f(\r(2),2)≤e≤eq \f(\r(6),3)．令f(x)＝x－eq \f(1,x)，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3)))上是增函数，∴当e＝eq \f(\r(2),2)时，e－eq \f(1,e)取得最小值eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)＝－eq \f(\r(2),2)．
(49)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(2\r(10),5)
答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)，与直线l的方程联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq \r(5)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq \f(\r(5),5)．
方法2 A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2eq \r(5)，所以椭圆C的离心率的最大值为eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)．故选A．
(50)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案 eq \f(7,5) 解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a．又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝eq \f(12,5)a，|PF2|＝eq \f(2,5)a．当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq \f(\f(144,25)a2＋\f(4,25)a2－4c2,2·\f(12,5)a·\f(2,5)a)＝eq \f(37,12)－eq \f(25,12)e2，即e2＝eq \f(37,25)－eq \f(12,25)cs∠F1PF2．∵cs∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(7,5)))．当P，F1，F2三点共线时，∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(7,5)，综上，e的最大值为eq \f(7,5)．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．
【对点训练】
47．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的
射影恰好为右焦点F．若eq \f(1,3)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
47．答案 C 解析 由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq \f(a2－c2,a)，于是k＝eq \f(|BF|,|AF|)＝eq \f(a2－c2,a(a＋c))．又eq \f(1,3)48．已知双曲线C：eq \f(x2,a2＋1)－y2＝1(a>0)的右顶点为A，O为坐标原点，若|OA|<2，则双曲线C的离心率的
取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．(1，eq \r(2))
48．答案 C 解析 双曲线C：eq \f(x2,a2＋1)－y2＝1(a>0)中，右顶点为A(eq \r(a2＋1)，0)，∴|OA|＝eq \r(a2＋1)<2，∴
1eq \f(1,a2＋1)>eq \f(1,4)，∵c2＝a2＋1＋1＝a2＋2，∴c＝eq \r(a2＋2)，∴e＝eq \f(\r(a2＋2),\r(a2＋1))＝ eq \r(\f(a2＋2,a2＋1))＝eq \r(1＋\f(1,a2＋1))，∴eq \r(1＋\f(1,4))49．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，
B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
49．答案 A 解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b<2．离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝ eq \r(\f(a2－b2,a2))＝ eq \r(\f(4－b2,4))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，故选A．
50．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|eq \(PF1,\s\up8(→))＋eq \(PF2,\s\up8(→))|≥3|eq \(F1F2,\s\up8(→))|
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．150．答案 C 解析 由OP为△F1PF2的中线，可得4|eq \(PF1,\s\up8(→))＋eq \(PF2,\s\up8(→))|＝8|eq \(PO,\s\up8(→))|≥3|eq \(F1F2,\s\up8(→))|，因为|eq \(F1F2,\s\up8(→))|≥a，|eq \(F1F2,\s\up8(→))|
＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：151．已知点F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲
线交于M，N两点，若eq \(MF,\s\up7(―→))1·eq \(NF,\s\up7(―→))1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，eq \r(2)＋1) B．(1，eq \r(2)＋1) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
51．答案 B 解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意可得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得到y＝eq \f(b2,a)，不妨设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，
则eq \(MF,\s\up7(―→))1·eq \(NF,\s\up7(―→))1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，－\f(b2,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，\f(b2,a)))＝4c2－eq \f(b4,a2)＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－2eq \r(2)＜e2＜3＋2eq \r(2)，又e＞1，所以1＜e2＜3＋2eq \r(2)，解得1＜e＜1＋eq \r(2)．
52．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离
心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
52．答案 B 解析设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD
的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1>eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,b2)＝e2＋eq \f(e2,1－e2)，整理得e4－3e2＋1>0，e253．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2
交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
53．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) 解析 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为eq \(B2A2,\s\up6(→))，eq \(F2B1,\s\up6(→))所
夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20即e2＋e－1>0，e>eq \f(\r(5)－1,2)或e54．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，
则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
54．答案 A 解析 法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|有解，即(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)<0，化简得c2>xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)，即c2>(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))min，又yeq \\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)，0≤xeq \\al(2,0)b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，解得e>eq \f(\r(2),2)，又0法二：椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔beq \f(\r(2),2)，又055．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的
等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．（eq \f(\r(3)－1,2)，1） B．（eq \f(\r(3)－1,2)，eq \f(1,2)） C．（eq \f(1,2)，1） D．（0，eq \f(1,2)）
55．答案 B 解析 由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cs∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cs
∠PF1F2，即|PF2|＝2eq \r(2)c·eq \r(1－cs∠PF1F2)，所以a＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,2)＝c＋eq \r(2)c·eq \r(1－cs∠PF1F2)，又60°<∠PF1F2<120°，∴－eq \f(1,2)56．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一
个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．
56．答案 (1，eq \r(2))∪(eq \r(2＋\r(2))，＋∞) 解析 设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，令x＝－
c，可得y＝±beq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \f(b2,a)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a)))，D(0，b)，可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，b－\f(b2,a)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2b2,a)))，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－b－\f(b2,a)))，若∠DAB为钝角，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))<0，即0－eq \f(2b2,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(b2,a)))<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，可得c2<2a2，即e＝eq \f(c,a)1，可得10，由e＝eq \f(c,a)，可得e4－4e2＋2>0，又e>1，可得e>eq \r(2＋\r(2))；又eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(2b2,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(b2,a)))>0，∴∠DBA不可能为钝角．综上可得，e的取值范围为(1，eq \r(2))∪(eq \r(2＋\r(2))，＋∞)．
57．已知点F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N
两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B．[2，eq \r(3)＋1] C．[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D．[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
57．答案 D 解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，∴eq \f(1,2)r1r2＝2·eq \f(1,2)c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)，又∵β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴sin 2β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴e2＝eq \f(1,1－sin 2β)∈[2，(eq \r(3)＋1)2]．又e>1，∴e∈[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]．
58．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线
离心率的取值范围为________.
58．答案 (1，eq \r(5)) 解析 由过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右
支交于两点，可得eq \f(b,a)<2．∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))1，∴159．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的
中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
59．答案 C 解析 如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，
使得|PF2|＝2c．∴a－c≤2c＜a＋c．∴e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))．
60．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆
的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
60．答案 B 解析 ∵F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴离心率0F2(c，0)，c2＝a2－b2．设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2．联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))整理得，x2＝(2c2－a2)·eq \f(a2,c2)≥0，解得e≥eq \f(\r(2),2)．又061．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2
＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
61．答案 A 解析根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|
＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝eq \f(c,a)≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1，3]．
62．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝c2，则
该椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
62．答案 B 解析 设P(x，y)，则eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，y2＝b2－eq \f(b2,a2)x2，－a≤x≤a，eq \(PF1,\s\up8(→))＝(－c－x，－
y)，eq \(PF2,\s\up8(→))＝(c－x，－y)．所以eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝x2－c2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))x2＋b2－c2＝eq \f(c2,a2)x2＋b2－c2．因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))≤b2．所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以eq \f(\r(3),3)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2)．故选B．
63．已知双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c．若双曲线M的右支上
存在点P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(3c,sin∠PF2F1)，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) C．(1，2) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
63．答案 A 解析 根据正弦定理可知eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,|PF1|)，所以eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,3c)，即|PF2|＝eq \f(a,3c)|PF1|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－))PF2))
＝2a，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,3c)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝2a，解得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \f(6ac,3c－a)，而eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))>a＋c，即eq \f(6ac,3c－a)>a＋c，整理得3e2－4e－1<0，解得eq \f(2－\r(7),3)1，所以164．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得
eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，eq \r(2)－1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．(eq \r(2)－1，1)
64．答案 D 解析在△MF1F2中，eq \f(|MF2|,sin∠MF1F2)＝eq \f(|MF1|,sin∠MF2F1)，而eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，∴eq \f(|MF2|,|MF1|)＝
eq \f(sin∠MF1F2,sin∠MF2F1)＝eq \f(a,c)，①．又M是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a，②．由①②得，|MF1|＝eq \f(2ac,a＋c)，|MF2|＝eq \f(2a2,a＋c)．显然|MF2|＞|MF1|，∴a－c＜|MF2|＜a＋c，即a－c＜eq \f(2a2,a＋c)＜a＋c，整理得c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，又0＜e＜1，∴eq \r(2)－1＜e＜1，故选D．
65．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)
＝eq \f(a2,c2)，该椭圆的离心率的取值范围为 ．
65．答案 (eq \r(2)－1，1) 解析 由eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)＝eq \f(a2,c2)得eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)．又由正弦定理得eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，
所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(c,a)，即|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|．又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(2a2,a＋c)，|PF1|＝eq \f(2ac,a＋c)，因为PF2是△PF1F2的一边，所以有2c－eq \f(2ac,a＋c)0，所以e2＋2e－1>0(0

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