专题03 离心率范围(最值)模型(原卷版)

这是一份专题03 离心率范围(最值)模型(原卷版)，共8页。
【例题选讲】
[例8] (41)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
答案 B 解析 将x＝c代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)．将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(bc,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|＝eq \f(2bc,a)．因为|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，所以eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)×eq \f(2bc,a)，即b≥eq \f(3,5)c，则b2≥eq \f(9,25)c2，即c2－a2≥eq \f(9,25)c2，即eq \f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq \f(25,16)，所以e≥eq \f(5,4)，故选B．
(42)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于eq \f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
答案 C 解析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵点P到直线l∶4x＋3y＝0的距离不小于eq \f(6,5)，∴eq \f(|3b|,\r(16＋9))≥eq \f(6,5)，解得b≥2．∴c≤eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴0b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(eq \r(2)－1，＋∞) B．(0，eq \r(2)－1) C．(eq \r(2)－1，1) D．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
答案 C 解析 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，从而可得y＝±eq \f(b2,a)，不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))．由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F20)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|eq \(PF1,\s\up8(→))＋eq \(PF2,\s\up8(→))|≥3|eq \(F1F2,\s\up8(→))|
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．10)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离
心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
53．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2
交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
54．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，
则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
55．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的
等腰三角形，且60°0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一
个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．
57．已知点F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N
两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B．[2，eq \r(3)＋1] C．[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D．[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
58．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线
离心率的取值范围为________.
59．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的
中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
60．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆
的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
61．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2
＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
62．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝c2，则
该椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
63．已知双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c．若双曲线M的右支上
存在点P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(3c,sin∠PF2F1)，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) C．(1，2) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
64．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得
eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，eq \r(2)－1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．(eq \r(2)－1，1)
65．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)
＝eq \f(a2,c2)，该椭圆的离心率的取值范围为