2019-2020学年河北省衡水市阜城县中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省衡水市阜城县中学八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们作为三角形的三边能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．17cm，7cm，9cm
C．12cm，14cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
2．（3分）如图中的两个三角形全等，则∠1＝（ ）
A．45°B．58°C．76°D．77°
3．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则△BED的周长为（ ）
A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则从这个多边形的一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）如图，AE∥FD，AB＝CD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．∠A＝∠DB．AE＝DFC．EC＝BFD．BC＝CD
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．a2•（﹣2a）3＝﹣8a5
7．（3分）甲打360个字与乙打480个字所用时间相同，已知两人每分钟共打140个字．若设甲每分钟打x个字，则可列方程（ ）
A．＝B．＝
C．+＝140D．x+＝140
8．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣1D．5或1
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为 m．
10．（3分）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m＝ ．
11．（3分）如图是一副三角板拼成的图案，则∠1＝ °．
12．（3分）O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A＝56°，则∠BOC＝ °．
13．（3分）边长分别为a和b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中的阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于E，△BCE的周长为15，BC＝7，则AB的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）已知4x＝3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
17．（8分）如图，
（1）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
18．（9分）先化简：后，再选择一个你喜欢的x值代入求值．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE和BF交于点O，∠BAC＝58°，∠BOA＝125°，求∠C和∠DAE的度数．
20．（10分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
21．（10分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且DE＝DC，过点C作CF⊥DE，垂足为点F．
（1）猜想：DA与CF的大小关系，并说明理由；
（2）证明：EB＝EF．
22．（10分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等．
（1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）现在两种机器人共同搬运900kg化工原料，搬运3小时后B型机器人因机器维修退出，求B型机器人退出后A型机器人还需搬运多长时间才能搬完？
23．（11分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
2019-2020学年河北省衡水市阜城县中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们作为三角形的三边能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．17cm，7cm，9cm
C．12cm，14cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、7+9＜16，不能组成三角形；
C、12+14＞20，能组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．（3分）如图中的两个三角形全等，则∠1＝（ ）
A．45°B．58°C．76°D．77°
【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出对应角相等，再根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：∵两三角形全等，
∴∠1＝180°﹣58°﹣45°＝77°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
3．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则△BED的周长为（ ）
A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，再求出△BED的周长＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6cm，
∴BE＝4cm，
∴△BED的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝12cm，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则从这个多边形的一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．3B．4C．5D．6
【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n﹣2）×180＝360×2，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n﹣2）×180＝360×2，
解得；n＝6，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6﹣3＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
5．（3分）如图，AE∥FD，AB＝CD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．∠A＝∠DB．AE＝DFC．EC＝BFD．BC＝CD
【分析】添加条件AE＝DF可证明AC＝BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A＝∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
【解答】解：添加条件：AE＝DF；理由如下：
∵AE∥FD，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
在△AEC和△DFB中，，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．a2•（﹣2a）3＝﹣8a5
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的式子，从而可以判断哪个选项正确．
【解答】解：∵a3•a2＝a5，故选项A错误，
∵（a2）3＝a6，故选项B错误，
∵（﹣3a2）3＝﹣27a6，故选项C错误，
∵a2•（﹣2a）3＝a2•（﹣8a3）＝﹣8a5，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
7．（3分）甲打360个字与乙打480个字所用时间相同，已知两人每分钟共打140个字．若设甲每分钟打x个字，则可列方程（ ）
A．＝B．＝
C．+＝140D．x+＝140
【分析】设甲每分钟打x个字，则乙每分钟打（140﹣x）个字，根据甲打360个字与乙打480个字所用时间相同，列方程即可．
【解答】解：设甲每分钟打x个字，则乙每分钟打（140﹣x）个字，可列方程为：
＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
8．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣1D．5或1
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m﹣3）＝±8，∴m＝7或﹣1．
【解答】解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴在x2+2（m﹣3）x+16中，2（m﹣3）＝±8，
解得：m＝7或﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为 1.02×10﹣7 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．
故答案为：1.02×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（3分）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m＝ （m+2）（m﹣2） ．
【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（m﹣4）（m+1）+3m
＝m2﹣3m﹣4+3m
＝m2﹣4
＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握平方差公式是解题关键．
11．（3分）如图是一副三角板拼成的图案，则∠1＝ 105 °．
【分析】根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∠1＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
12．（3分）O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A＝56°，则∠BOC＝ 118 °．
【分析】根据O到三角形三边距离相等，得到O是内心，再利用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是内心，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣56°＝124°，
∠OBC+∠OCB＝62°，
∠BOC＝180°﹣62°＝118°．
故答案为：118．
【点评】本题考查的是角平分线的定义和三角形的内心的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．（3分）边长分别为a和b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中的阴影部分的面积为 ．
【分析】阴影部分的面积＝两个正方形的面积之和﹣3个直角三角形的面积．
【解答】解：依题意得：S阴影＝a2+b2﹣a（a+b）﹣b2﹣a（a﹣b）＝．
故答案是：．
【点评】考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于E，△BCE的周长为15，BC＝7，则AB的长为 8 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为15，
∴BC+BE+CE＝15，即BC+CE+AE＝BC+CA＝15，
∴AB＝AC＝15﹣7＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA＝ 2或4 ．
【分析】分为点D在AC 上和点D在AC的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PBD为有一个角为30°的直角三角形，最后依据AP+PB＝6列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝6．
如图1所示：
由翻折的性质可知：AP＝PD，
∴∠A＝∠PDA＝30°．
∴∠BPD＝60°．
∵∠PDB＝90°，
∴PD＝PB，
∴AP+2AP＝6，解得AP＝2．
如图2所示：
由翻折的性质可知：AP＝PD，
∴∠A＝∠PDA＝30°．
∴∠BPD＝60°．
∵∠PBD＝90°，
∴PB＝PD，
∴AP+AP＝6，解得AP＝4．
综上所述，AP的长为2或4．
故答案为：2或4
【点评】本题主要考查的是翻折变换、含30°直角三角形的性质，证得△BPD为一个含30°的直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）已知4x＝3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：∵4x＝3y，
∴（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2
＝﹣4xy+3y2
＝y（3y﹣4x）
＝y（3y﹣3y）
＝0．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．（8分）如图，
（1）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
【分析】（1）首先写出点A，B，C的坐标，再根据过于x轴对称点的坐标特点即可得到△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）首先得到点A，B，C关于y轴对称点的坐标即可画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）连接CB2，交y轴于点P，则此时△PBC的周长最小．
【解答】解：
（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标分别为：A1（﹣3，﹣2），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1）；
（2）如图1所示：
（3）如图2所示：
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
18．（9分）先化简：后，再选择一个你喜欢的x值代入求值．
【分析】先把分式化简，再把数代入求值．x的取值不为0、2、4．
【解答】解：原式＝（2分）
＝（4分）
＝（5分）
＝；（7分）
当x＝3时，原式＝．（9分）
注：本题答案不唯一，只要x的取值不为0、2、4，计算正确均可得分．
【点评】化简时分子分母能因式分解的要先因式分解，除法要统一为乘法运算；取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE和BF交于点O，∠BAC＝58°，∠BOA＝125°，求∠C和∠DAE的度数．
【分析】首先根据角平分线的性质求出∠BAE的度数，进而求出∠ABO的度数，再利用角平分线的性质求出∠ABC的度数，进而利用三角形内角和定理求出∠C的度数；根据三角形的高求出∠ADC＝90°，即可求出∠DAC的度数，于是求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝58°，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝29°，
∵∠AOB＝125°，
∴∠ABO＝26°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABO＝52°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣58°﹣52°＝70°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝29°﹣20°＝9°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和以及三角形角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质，此题难度不大．
20．（10分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B＝∠C．
【解答】解：这种做法合理．
理由：
在△BDE和△CFG中，
．
∴△BDE≌△CFG（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．
21．（10分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且DE＝DC，过点C作CF⊥DE，垂足为点F．
（1）猜想：DA与CF的大小关系，并说明理由；
（2）证明：EB＝EF．
【分析】（1）猜想：DA＝CF．只要证明△AED≌△FDC，即可证明．
（2）连接CE．只要证明Rt△CBE≌Rt△CFE即可．
【解答】（1）猜想：DA＝CF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠AEF．
在△AED和△FDC中
，
∴△AED≌△FDC（AAS）．
∴DA＝CF．
（2）证明：连接CE．
∵DA＝CF，AD＝BC，
∴CB＝CF．
在Rt△CBE和Rt△CFE中
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL），
∴BE＝EF．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等．
（1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）现在两种机器人共同搬运900kg化工原料，搬运3小时后B型机器人因机器维修退出，求B型机器人退出后A型机器人还需搬运多长时间才能搬完？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料，根据时间＝工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝剩余工作量÷工作效率列式计算，此题得解．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是分式方程＝的解，
∴x+30＝90．
答：B型机器人每小时搬运60千克化工原料，A型机器人每小时搬运90千克化工原料．
（2）[900﹣（60+90）×3]÷90＝5（小时）．
答：B型机器人退出后A型机器人还需搬运5小时才能搬完．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间＝工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等列出关于x的分式方程；（2）根据工作时间＝剩余工作量÷工作效率列式计算．
23．（11分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE ＝ CF；EF ＝ |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA＝180° ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【分析】由题意推出∠CBE＝∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．
【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．
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日期：2021/11/24 15:12:32；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971