黑龙江省哈尔滨市第六中学2021-2022学年高三上学期期中考试理科数学试题（有答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六中学2021-2022学年高三上学期期中考试理科数学试题（有答案），共7页。试卷主要包含了若集合，那么，复数满足，则，函数的图象大致为，“”是“”的，曲线的参数方程消去参数可得等内容，欢迎下载使用。
考试说明：本试卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.若集合，那么（ ）
A．B．C．D．
2.复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．
3.已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．35B．33C．16D．29
4.函数的图象大致为（ ）
A B C D
5.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
7．下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图（来源于国家统计局网站），现从12个月中任选3个月，则其中恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于的概率为（ ）
A．B．
C．D．
8.用1，2，3，4，5，6六个数字组成六位数，其中奇数不相邻且1、2必须相邻，则满足要求的六位数共有（ ）个
A．72B．96C．120D．288
9.已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
10.若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列是公比为2的等比数列B．
C．既无最大值也无最小值D．
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13. 设向量，且，则_________________
14．已知，则的值为_______________
15．已知，若数列的前项和，则____________
16．已知函数（）图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的序号是_______________
①函数的最小正周期为
②将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
③若存在，使得，则
④设，则在内有20个极值点
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
在直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）求曲线与直线交点的极坐标（）．
18．（本小题满分12分）
在等差数列中，，其前项和为，各项均为正数的等比数列中，，且满足，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
19．（本小题满分12分）
为了推进新高考改革，某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课，同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣，该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动，本次活动共进行两轮比赛，第一轮是综合知识小测验，满分100分，并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题，回答3个难度升级的题目，分别涉及“体育健康”、“天文地理”和“逻辑推理”三个方面，答对题得10分，答对题得20分，答对题得30分.以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照，，，，，进行分组绘制而成的频率分布直方图如图所示：
（1）根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛？
（2）若李华成功进入了第二轮比赛，并且他答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为，设他在第二轮比赛中的所得分数为，求的的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知锐角∆的内角的对边分别为，若，且.在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
（1）求角；
（2）若_____________，求∆面积的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，
求使恒成立的最小的整数．
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数在点处的切线为，求的值；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对于一切正整数，恒有．
理科数学答案
14. 15.9 16.①②④．
17.（1）曲线的参数方程消去参数可得：
故曲线化为普通方程为：，
由，得，结合
所以直线的直角坐标方程为. 4分
（2）的普通方程可化为，联立，
解得或，化为极坐标可得，. 10分
18.解：（1）设数列的公差为d，的公比为q，
因为，，，所以，
解答，（负值舍去），
故，； 4分
（2）证明：由（1）得，
所以． 8分
所以数列的前n项和为，
所以． 12分
19.（1）设学生在第一轮比赛中至少得到分才能进入第二轮比赛，
则由频率分布直方图可得，解得，
故学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛. 4分
（2）由题意可知的取值可能为0，10，20，30，40，50，60， 5分
，，
，，
，，
，
故的的分布列为
10分
12分
解：
（1）由，可得，即，
∵，∴ 4分
（2）若选①：∵，
∴，∴，∴. 6分
由正弦定理可得：，即，∴，
∴
, 8分
∵即∴,∴， 10分
∴，∴面积的取值范围是. 12分
若选②：∵，∴，∴.
又由余弦定理可得：，即，
∴，又，∴ 6分
由正弦定理可得：，即，∴，
∴, 8分
∵即∴,∴， 10分
∴，∴面积的取值范围是. 12分
21（1）由，得，
令，所以，解得，
所以， 2分
由等比数列的定义可知：
数列是以为公比，以为首项的等比数列，
所以，即， 4分
（2）由题意得， 6分
，
， 8分
两式相减得：，10分
所以， 11分
所以，
所以使恒成立的最小的整数为. 12分
22.（1）
又即； 2分
（2）当时，
恒成立即恒成立 3分
令
设方程的两根为
则不妨设
若即时在，
又不成立 4分
若即时在
5分
综上： 6分
由（2）知时， 7分
令得 9分
即
分别 累加即可得 12分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
B
D
C
B
A
C
C
D
A
0
10
20
30
40
50
60
P