广东省深圳市龙岗区2021-2022学年高三上学期期中质量监测数学试题

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注意事项：
1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。不按以上要求作答的答案无效。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题(本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数
A.B.C.D.
3．已知等差数列满足，前5项和，则
A.B.C.D.
4．已知，则
A.B. C. D.
5．的展开式中，的系数为
A. B. C. D.
6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
7．如图，在中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得二面角为，则三棱锥的体积为
A
B
C
D
P
A．
B． 4
C．
D．2
8．已知为偶函数，为奇函数，且,则下列结论错误的是
A.
B.，
C.,且，若，则
D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是
A．直线与平行，则
B．正项等比数列满足，，则
C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为
D．函数为奇函数的充要条件是
10．函数，则下列说法正确的是
A．若，则的值域为
B．函数在上为增函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到
11．已知圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的值可取
A. B． C． D．
12. 已知函数(为自然对数的底数)，过点作曲线的切线.下列说法正确的是
A．当时，若只能作两条切线，则
B．当，时，则可作三条切线
C．当时，可作三条切线,则
D．当，时，有且只有一条切线
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量，，若，则____________.
14. 已知随机变量,且,则_______.
15. 已知点在圆上，已知，，则的最小值为_______.
16. 已知正方体的棱长为，点为中点，点、在四边形内(包括边界)，点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为_______.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）在中，的角平分线与边相交于点,满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
19.（本小题满分12分）已知矩形满足,,点为的中点,连接、,交于点.将沿折起,点翻折到新的位置，得到一个四棱锥.
(1)证明：平面;
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展、更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务。为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展。为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在区发球2次或者区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出.已知选手甲在区和区每次发球得分的概率为和.
(1)如果选手甲以在区和区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？
(2)求选手甲在区得分高于在区得分的概率.
21.（本小题满分12分）已知圆:和定点，动点、在圆上.
(1)过点作圆的切线，求切线方程；
(2)若满足，设直线与直线相交于点.
①求证：直线过定点；
②试探究和的定量关系.
22.（本小题满分12分）设函数，其中.
(1)当，时，求证：;
(2)若为的极值点，且,，求的值.