安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）上学期期中考试数学（文）【试卷+答案】

育才学校2021-2022学年度第一学期期中考试

高二实验班文科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知点，，则直线的倾斜角是

A． B． C． D．

2．已知直线与直线互相平行，则实数的值为

A．﹣3 B． C．2 D．﹣3或2

3．若圆上的点到直线的最大距离为，则实数k的值是（    ）

A． B．2 C．或2 D．或0

4．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆圆那么这两个圆的位置关系是

A．内含 B．外离 C．外切 D．相交

7．已知点A（，2），B（4，﹣3），若直线l过点P（0，1）与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A． B．[]

C． D．

8．已知向量，若向量共面，则实数的值为（    ）

A． B． C．1 D．3

9．点M是棱长为3的正方体中棱的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法中正确的有（    ）

（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；

（2）若，则

（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

（4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．已知向量，，，若，，共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

12．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2

C．的最大值为 D．的最大值为

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知向量，，则的值为___________.

14．已知圆，圆，则两圆的公切线条数为___________条.

15．椭圆的左右焦点为，，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为_______.

16．若直线l经过点和且与直线垂直，则实数a的值为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知直线l通过两点M（3，﹣1），N（0，5）．

（1）求出直线l的斜率；

（2）把直线l的方程写成一次函数的形式；

（3）在平面直角坐标系中画出这条直线．

18．（10分）在平面直角坐标系中，椭圆的左､右焦点分别为，离心率.过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的周长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点A位于第一象限，且，求的外接圆的方程.

19．（10分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为､的中点，，.

（1）求点到直线的距离

（2）求平面与平面夹角的余弦值

（3）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长.

20．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过的直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）面积的最大值．

21．（10分）已知圆C过点，且与圆关于直线对称.

（1）求圆C的方程；

（2）设E､F分别是圆M，圆C上的动点，求的最大值.

（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线和直线的倾斜角互补.O为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由.

22．（10分）已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.

（1）证明：；

（2）若D为中点，求平面与平面DFE的夹角的余弦值.

参考答案

1．A

【详解】，    直线的斜率：

设直线倾斜角为，则    本题正确选项：

2．A

【详解】因为直线与直线互相平行，

所以，选A.

3．B

【详解】圆化成标准形式，圆心，半径，显然；

圆心到直线的距离

圆上的点到直线的最大距离为，即，

解得：或（舍去）故选：B

4．D

【详解】设点、，则，两个等式作差得，

整理可得，

设线段的中点为，即，

另一方面，，所以，，

所以，，解得，

因此，椭圆的方程为.故选：D.

5．B

【详解】因为，，两两垂直，

以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

又因为，，

所以，，，，

因为是棱的中点，所以，

所以，，

所以，故选：B.

6．C

【详解】由圆圆

得到圆心C1（0，﹣1），圆心C2（2，﹣1），且R＝1，r，

∴两圆心间的距离d2，

故d=R+r，

∴圆C1和圆C2的位置关系是外切．故选C．

7．C

【详解】如图所示，

由A（，2），B（4，﹣3），P（0，1），

可得斜率kPA，kPB1，

因为直线l与线段AB相交，

所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：C.

8．B

【详解】因为向量共面，

所以存在实数使得，即

所以，解得故选：B

9．B

【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设平面与于，连接，由平面平面，是截面与这两个平面的交线，因此，取中点F，在上取点H，使，在上取点G，使，连接，

易得，所以，又，所以，

所以，而平面，平面，所以平面，

易知，，，，，

∴，，，，，所以，共面，

，，所以，同理得平面，

是平面内两相交直线，则平面平面，

∵动点P在正方形（含边界）内运动，且平面，∴P点的轨迹是线段，

又点C到线段的距离，

∴的长度的最小值为，，，

∴长度的最大值为.

∵的长度范围为．故选：B.

10．A

【详解】①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以错误．

②若，则两直线的斜率相等或都不存在，所以错误．

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确．

④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以错误．故选：A

11．D

【详解】若，，共面，则存在实数，，

使得，

即，

即，解得.故选：D.

12．B

【详解】如图，当为线段与圆的交点时，即时，

此时取得最小值为，故A正确；

由题可知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，

此时，故B错误；

因为点在圆上，为圆心，则，

所以当最大时，也最大，

当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；

当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．

故选：B.

13．

【详解】因为，，

所以，

所以.故答案为：.

14．2

【详解】已知圆转换为，

即该圆是以为圆心,为半径的圆.

圆是以为圆心,为半径的圆.

所以圆心距,

所以,

所以两圆相交,故公切线的条数为.故答案为:.

15．16

【解析】

【详解】因为，为椭圆的左右焦点，又一直线过交椭圆于A、B两点，

所以有：,,

所以的周长为.

故答案为16

16．

【详解】∵  直线l经过点和

∴ 由题意得直线l的斜率存在且为，

又直线l与直线垂直，

∴，即，故答案为：.

17．（1）-2（2）y=﹣2x+5；（3）见解析

【详解】（1）由直线l通过两点M（3，﹣1），N（0，5），

则直线l的斜率，

即直线l的斜率为；

（2）由直线的点斜式方程可得：直线l的方程为，

化为一次函数的形式可得；

（3）过两点M（3，﹣1），N（0，5）的直线如图所示：

18．（1）；（2）.

【详解】

（1）因为椭圆的离心率，

所以.①

又的周长为，

所以.②

联立① ②，解得，

从而，

因此椭圆C的方程为；

（2）因为点A位于第一象限，

故设，其中，

因为，

所以，

又点A在椭圆C上，

所以，

解得，

从而.

由（1）知，椭圆C的左焦点为，

，

所以直线l的方程为.

由，

得，

解得或.

所以.

因为，

所以的外接圆就是以为直径的圆，

又椭圆C的右焦点为，

所以线段的中点M的坐标为，

此时，

故的外接圆的方程为.

19．（1）,为中点，所以，

平面平面，平面平面，所以平面，

因为，所以，

，所以,

连接，则，所以，

所以△为等边三角形，所以点到直线的距离为；

（2）

平面平面，，平面平面，

所以平面，所以

易知，满足，所以，

又，平面，所以平面，

平面，所以.

所以即为平面与平面夹角，

，所以；

（3）

如图建立空间直角坐标系，是平面内一点，设，

，点为中点，，

，，

由平面，可得，

解得.所以，.

所以
 

20．（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）由题意可得，解得，，，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由已知，直线的斜率为零时，不合题意，

由（I）知，设直线的方程为，，，

联立，消去化简整理得，

由根与系数的关系得，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴面积的最大值为．

21．（1）设出圆心关于直线的对称点点坐标，由直线是线段的垂直平分线可得点坐标，再由得半径，从而得圆方程；

（2）求出两圆心距离，分别加上两圆的半径可得最大值；

（3）设出直线方程，求出坐标后计算斜率与的斜率比较可得．

（1）

由已知，设，则，解得，

所以，

圆的标准方程是；

（2）

由（1）得，两圆半径都是，

所以；

（3）

平行，证明如下：

显然的斜率存在且不为0，直线和直线的倾斜角互补，则它们的斜率是相反数，设直线方程为，方程为，

，，易知是此方程的一根，

则另一根为，，

同理得，，

所以，又，即，所以．

22．（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，底面ABC，所以，

因为，，所以，又，平面，所以平面.所以，，两两垂直.

以为坐标原点，分别以，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图.

所以，，，，，，，.

由题设.

因为，，

所以，所以.

（2）由题意得面的法向量为，，，，

设面的法向量为，

， 取，得，

所以所求角余弦值为.