第二讲.二项式定理练习题

这是一份第二讲.二项式定理练习题，共15页。试卷主要包含了二项式定理，基本概念，注意关键点，常用的结论，性质，在的展开式中，记项的系数为，，的展开式中的系数是，展开式中的常数项为等内容，欢迎下载使用。
第二讲.二项式定理基础知识梳理1．二项式定理：，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数.③项数：共项，是关于与的齐次多项式④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有项。②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令    令  5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，                变形式。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。                    如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 一．例题讲解题型一：二项式定理的逆用；例：解：与已知的有一些差距， 练：解：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？解：由条件知，即，，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。 题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，，，当时，，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为    ,则有①，,则有②    将①-②得：    有题意得，，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，，解得    所以中间两个项分别为，，题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有练：在的展开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法② 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项？解：，设第项为常数项，则，得,, .题型八：两个二项式相乘；例：解： 练：解：.练：解：题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：解：题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有，，    令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练解：     练：解：题型十一：整除性；例：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除二.跟踪练习1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是               2、        2、3、的展开式中的有理项是展开式的第         项 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是          5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？8、自然数n为偶数时，求证：     9、求被9除的余数10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项三．历年高考真题一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）展开式中的系数为A．15      B．20        C．30      D．352．（2017新课标Ⅲ）的展开式中的系数为A．80          B．40                C．40             D．803．(2016年四川) 设为虚数单位，则的展开式中含的项为A．－15      B．15       C．－20       D．204．（2015湖北）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．         B．         C．          D．5．（2015陕西）二项式的展开式中的系数为15，则A．4      B．5        C．6         D．76．（2015湖南）已知的展开式中含的项的系数为30，则A．      B．      C．6       D．－67．（2014浙江）在的展开式中，记项的系数为，则=A．45       B．60        C．120        D． 2108．（2014湖南）的展开式中的系数是A．－20          B．－5            C．5           D．209．（2013辽宁）使得的展开式中含常数项的最小的为A．       B．        C．         D． 10．（2013江西）展开式中的常数项为A．80        B．－80          C．40       D．－4011．（2012安徽）的展开式的常数项是（     ）A．             B．              C．               D．12．（2012天津）在的二项展开式中，的系数为A．10   　   B．－10　  　　 C．40　　  　D．－4013．（2011福建）的展开式中，的系数等于A．80               B．40          C．20         D．1014．（2011陕西）（R）展开式中的常数项是A．       B．       C．15        D．20二、填空题15．（2017浙江）已知多项式=，则=___，=___．16．（2017山东）已知的展开式中含有项的系数是，则        ．17．(2016年山东)若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．18．(2016年全国I)的展开式中，x3的系数是      ．（用数字填写答案）19．（2015北京）在的展开式中，的系数为      ．（用数字作答）20．（2015新课标2） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则=______．21．（2014新课标1）的展开式中的系数为        ．(用数字填写答案)22．（2014新课标2）的展开式中，的系数为15，则=___．(用数字填写答案)23．（2014山东）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为    ．24．（2013安徽）若的展开式中的系数为7，则实数______．25．（2012广东）的展开式中的系数为______．（用数字作答）26．(2012浙江)若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则      ．27．（2011浙江）设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值是        ．28．（2010安徽）展开式中，的系数等于      ．           跟踪练习参考答案1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是2、4n3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为355、,要得到含x­4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是6、=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为7、由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小8、原式=9、 ,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余810、在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为   ∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为24011、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有         ∴展开式中系数最大项为第5项，T5=历年高考真题参考答案1．C【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C．2．C【解析】的展开式的通项公式为：，当时，展开式中的系数为，当时，展开式中的系数为，所以的系数为．选C． 3．A【解析】通项，令，得含的项为，故选A．4．D【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为．5．B【解析】由，知，∴，解得或6．D【解析】，令，可得，故选D．7．C【解析】由题意知，，，，因此．8．A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项，故的系数为－20，选A．9．B【解析】通项，常数项满足条件，所以时最小．10．C【解析】，令，解得，所以常数项为．11．D【解析】第一个因式取，第二个因式取得：，第一个因式取，第二个因式取得：  展开式的常数项是．12．D【解析】∵=，∴，即，∴的系数为．13．B【解析】的展开式中含的系数等于，系数为40.答案选B．14．C【解析】，令，则，所以，故选C．15．16,4【解析】将变换为，则其通项为，取和可得，，令，得．16．4【解析】，令得：，解得．17．【解析】因为，所以由，因此18．【解析】由得，令得，此时系数为10．19．40【解析】由通项公式，，令，得出的系数为．20．3【解析】展开式的通项为，由题意可知，，解得．21．－20【解析】中，令，再令，得的系数为．22．【解析】二项展开式的通项公式为，当时，，，则，故．23．2【解析】，令，得，故，∴，当且仅当或时等号成立．24．【解析】通项所以．25．20【解析】的展开式中第项为令得：的系数为．26．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．法三：，则。27．2【解析】由题意得，∴，，又∵，∴，解之得，又∵，∴．28．15【解析】．