第二讲.函数的值域求法练习题

这是一份第二讲.函数的值域求法练习题，共9页。试卷主要包含了值域的概念和常见函数的值域，求函数值域的常用方法等内容，欢迎下载使用。
求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数　　　 　 例1、求函数y=的值域　　       解： 显然函数的值域是：例2、求函数y=2－的值域。 解： ≥0    －≤0   2－≤2故函数的值域是：[-∞，2]2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：   当x=1时，y =4当x=-1，时=8故函数的值域是：[4，8]例4求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为.3.判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解：恒成立，函数的定义域为R.  由 得 。①          当即时，；②       当即时，时，方程恒有实根.   且.原函数的值域为.例6、 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0 xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0≤x≤2，y=x+≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法   适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得  即知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例8、求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=＞0，＞0 解得：-1＜y＜1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+β）=3y      即 sinx（x+β）=      ∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1解得：-≤y≤   故函数的值域为[-，]。 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例10、求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。例11、 求函数y= （2≤x≤10）的值域解：令y=，=，则 y ，在[2，10]上都是增函数。　所以y= y +在[2，10]上是增函数。　当x=2时，y =+=，　　 当x=10时，= +=33。故所求函数的值域为：[，33]。7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。 故函数的值域为[1，+∞）。例14、求函数y=x+2+的值域 解：因1-≥0，即≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[0，]。∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1 =sin（β+）+1∵0≤β≤，≤β+≤5∏/4∴ -≤sin（β+∏/4）≤1∴ 0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。 故所求函数的值域为[0，1+]。例17、求函数y=x+4+的值域 解：由5-x≥0，可得∣x∣≤  故可令x=cosβ，β∈[0，∏]    y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4  ∵0≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4   当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。故所求函数的值域为：[4-，4+]。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域。 解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例19、求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+  上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣==，     故所求函数的值域为[，+∞）。例20、求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==    即：-＜y＜ （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 。 综上所述，可知函数的值域为：（-，-]。  例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 10、导数法    设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例26、求函数,的最大值和最小值。解: ,令,方程无解.    函数在上是增函数.故当时, ，当时, 例27、求函数的最值.解析:  函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，，函数递增,时，，函数递减,故有最大值.【说明】  本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.