第四讲函数的奇偶性与周期性.练习题

第四讲.函数的基本性质奇偶性与周期性

函数的奇偶性和周期性是函数的基本性质之一，主要应用于函数图像分析和函数值得大小比较，主要有两种考查方式：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围．函数的奇偶性、周期性、单调性的综合应用是高考的热点，主要考查根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等

一．基础知识

1.函数的奇偶性

奇(偶)函数的性质

(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.

(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.

.一些重要类型的奇偶函数

(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；

(2)函数f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数；

(3)函数f(x)＝loga为奇函数；

(4)函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数．

2.函数的周期性

(1)周期函数 ，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

函数周期性的常用结论

对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.

(2)若f(x+a)=,则T=2a.

(3)若f(x+a)=-,则T=2a.

(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.

(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.

(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.

(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.

(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|

二．例题讲解

1.函数奇偶性的基本概念类的题型

例1.【2019年全国卷1】关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③

2.【2019年理北京卷】设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

3.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是(     )

A．      B．       C．          D．

4.【2015湖南理2】设函数，则是（    ）

A.奇函数，且在上是增函数   B. 奇函数，且在上是减函数

C. 偶函数，且在上是增函数   D. 偶函数，且在上是减函数

5.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=       

2.应用单调性和奇偶性比较大小，求值类的题型

6.【2019年全国卷2】已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

7.【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上， 则的值为________．

8.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（     ）

（A） （B）  （C）  （D）

9.【2016年高考北京理数】已知，，且，则（    ）

A.    B.    C.D.

10.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=            .

3.根据单调性和奇偶性确定参数的取值范围类型的题

11.【2019年全国卷2】设函数的定义域为R，满足，且当时.若对任意，都有，则m的取值范围是

A.  B.

C.  D.

12.【2015高考福建，理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是               ．

4. 函数周期性的应用类型的题目

13．【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A.     B. 0    C. 2    D. 50

14.设f(x)是定义在R上在奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．

15.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则

A.－  B．－

C.  D．

16.已知f(x)是R上的奇函数，f(5)＝2，且对任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.

参考答案解析

1. 【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④  正确，故选C．

2.【答案】    (1). -1;    (2). .

【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数为奇函数,则，

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

3.【答案】D

【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．

4.【答案】A.

【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，又∵，∴为奇函数，显然，在上单调递增，故选A.

5.【答案】1

【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.

6.【答案】-3

7.【答案】

8.【答案】

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

，又，则，所以即，

，

所以，故选C．

9.【答案】C

【解析】试题分析：A：由，得，即，A不正确；

B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；

C：由，，得，故，C正确；

D：由，得，不一定大于1，故不一定成立，故选C.

10.【答案】-2

【解析】试题分析：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以

，所以，即，，所以.

11.【答案】B

【解析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

12.【答案】

【解析】当，故，要使得函数的值域为，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．

13.【答案】C

详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.

14.【解】　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得

f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.

∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，

∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.

15，【答案】　A

16，　－2