第一讲.数列的基本概念与简单表示练习题

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第一讲.数列的概念及表示一．基础知识梳理【考纲说明】1、了解数列的概念，学习数列常用的几种表示方法。2、理解数列通项公式的意义，熟练掌握数列的通项公式、递推公式、前n项和公式。3、能够根据递推公式写出数列的前几项。4、理解数列的通项公式与前n项和的关系，并能够熟练运用前n项和求出数列的通项。5、本部分在高考中占5分左右。一、数列的概念与通项公式 1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关。排在第一位的数称为这个数列的的第一项（也叫做首项）往后各项一次叫做数列的第2项....第n项。    数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,.....an,...,其中an是数列的第n项。我们把这样的数列简记为｛an｝数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…              数列的表示法  （1）列举法：如a1,a2,a3,....an,....   （2）图象法：用（n, an）这样一群孤立的点表示。  （3）解析法：用通项公式或递推公式表示。     数列与函数的关系   数列可以看成以正整数为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值数列的通项公式  数列的第n项与序号n之间的关系用一个式子来表示，这个式子即是该数列的通项公式。二、递推公式   如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。三、数列前n项和与通项的关系   数列{an}及前n项和之间的关系:                在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则二．例题讲解1.直接法（归纳法）求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-,-,…;(3),…;(4),2,,8,,…;(5)5,55,555,5 555,….解题总结：此类型的题根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.  根据 的关系求通项公式2.如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是 (　　)A．an＝2(n2＋n＋1)    B．an＝3·2n      C．an＝3n＋1    D．an＝2·3n3．（2013新课标Ⅰ）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______. 4．（2013湖南）设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________． 5.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足 .(1)求 的值;(2)求数列{an}的通项公式.6.(1)(2018全国Ⅰ,理14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　　. (2)已知数列{an}的前n项和 ,则其通项公式为an=　　　　　　　　. 解题总结：已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式                                           当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.  根据 的关系求  7．（2015新课标Ⅱ）设是数列的前项和，且，则=___．8．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为         ．9．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为     ．10.（2012福建）数列的通项公式，前项和为，则=___________．11．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设，求数列的前项和．  根据数列的递推公式求通项公式根据数列的递推公式求通项公式此类型的题包含以下五种类型的题目，即（1） 用叠乘法求通项公式（2） 用叠加法求通项公式（3） 构造等比数列求通项公式（4） 通过两边同时构造等差，等比数列求通项公式（5） 通过取倒数构造等差，等比数列12.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．13.设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．                     参考答案1.解 (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式 ;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式  (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式(4)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即,…,从而可得数列的一个通项公式an=.(5)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项公式为10n-1,故所求数列的一个通项公式an=(10n-1).2.【解析】D3．【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.4．（1），（2）【解析】(1)∵．时，a1＋a2＋a3＝－a3－         ①时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.  ②由①②知a3＝－．(2)时，，∴当n为奇数时，；当n为偶数时，．故，∴5.答案略6.(1)∵Sn=2an+1,①∴Sn-1=2an-1+1(n≥2).②①-②,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6==-63.(2)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,a1不满足上式.故数列{an}的通项公式为an=7．【解析】当时，，所以，因为，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以．8．【解析】由题意得：所以．9．【解析】可证明：      ．10．3018【解析】因为的周期为4；由∴，，…∴．11．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，当时，，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为==.12.【解】　∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1，以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．13.【解】　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．14.【解】　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．