人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试教学课件ppt

这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试教学课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了用符号语言表达为，A用符号语言表达为，是AAS或ASA，全等三角形，判定方法基本，证明角相等，线添加方法等内容，欢迎下载使用。
一、全等三角形的性质能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的 两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
其中点A和 点D，点B和 点E ，点C和_ 点F_是对应顶点.AB和 DE，BC和 EF，AC和 DF是对应边.∠A和∠D，∠B和 ∠E，∠C和 ∠F是对应角.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.A
B应用格式：如图：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（ 全等三角形的对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）.
在△ABC与△DEF中AC=DF，∠C=∠F，BC=EF，∴△ABC≌△DEF.（SAS）
二、三角形全等的判定方法1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“ 边角边”或“SAS”).
∠A=∠D ，（已知 ）AB=DE，（已知 ）∠B=∠E，（已知 ）
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF.（ASA）
2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成 “角边角”或“ASA”）.
3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）
在△ABC和△ DEF中， AB=DE， BC=EF， CA=FD，∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS）
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”. 注意：①对应相等.②“HL”仅适用直角三角形,③书写格式应为:∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中， AB =DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
三、 角平分线的性质与判定
考点一全等三角形的性质例1如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．求AC的长度；试说明CE∥BF．解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，则AB=DC，∵BC=2，∴2AB+2=8，∴AB=3，∴AC=3+2=5；（2）∵△ACE≌△DBF，∴∠ECA=∠FBD，∴CE∥BF．
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角 与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一 对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一 定是对应角.
1.如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．（1）求∠B；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C，又∵∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°；（2）AD⊥BC．理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AD⊥BC．
证明： 在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
例2已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB．【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判 定．
考点二全等三角形的判定
2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是
(D)AB=DE,AC=DF,BC=EF∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DFAB=DE,AC=DF, ∠A= ∠DAB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
3.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB添加条
件 ∠C=∠D或∠AOC=∠B，OD 所以 △AOC≌△BOD
考点三全等三角形的性质与判定的综合应用
例3如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点AE,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.
【分析】欲证∠DEC=∠FECB由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，∴ GE =GC.
∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAG=∠CAG，.
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，∠ EGD= ∠ CGD=90 °，DG=DG.∴ △DGE ≌ △DGC(SAS).∴ ∠DEG = ∠ DCG.∵EF//BC,∴ ∠FEC= ∠ECD，∴ ∠DEG = ∠ FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形， 看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多， 如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
4.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，
∠BAO =∠CAO吗？为什么？
解： ∠BAO=∠CAO，理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC，∴ ∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，OB=OC，AO=AO，∴ Rt△ABO≌Rt△ACO，（HL）∴ ∠BAO=∠CAO.
考点四利用全等三角形解决实际问题
例4如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面 垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的 距离相等吗？A【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题 就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD， AB=AC，∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).∴BD=CD.
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些 因素作出判断，一般采用以下步骤：
先明确实际问题；根据实际抽象出几何图形；经过分析，找出证明途径；书写证明过程.
5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不 能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间 的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法： 过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D， 使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直 线上，
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，
∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴DE=BA．答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
考点五角平分线的性质与判定例5如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+ ∠BAP=180 °， 求证:PA=PC.
【分析】由角平分线的性质易想到过点P向
∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分 线的基本图形.
【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °.∴ ∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，
∠PEA=∠PFC=90 °，∠EAP=∠FCP，PE=PF，∴ △APE ≌ △CPF(AAS)，∴ AP=CP.
【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在 的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB, 连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即 可获证.
证明过程请同学们自行完成！
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依 托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分 线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.
6.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:∠PCB+∠BAP=180 °.
【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
在Rt△APE和Rt△CPF中，PA=PC，PE=PF，∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL).
∴ ∠ EAP= ∠ FCP.
∵ ∠BAP+∠EAP=180 °，∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.
想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有 怎样的数量关系呢？
性质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质
是证明两条线段相等和角相 等的常用方法
寻找现有条件（包括图中
选定判定方法证明准备条 件
角 的 平 分 线 的 性 质 定 理
角 的 平 分 线 的 判 定 定 理
证 明 两 条 线 段 相 等