数学人教版第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形教学课件ppt

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探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.（难点）
问题1如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这 个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？A
问题2将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半.
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,
可得BC=CD=1AB.
你还能用其他方法证 明吗？
在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°,∴∠B =60°．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC =AB．2证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
∴BC = 2 BD．
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.∴ △BCE是等边三角形，∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.∵ ∠A= 30°，∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.∴ AE=EC，∴ AE=BE=BC，∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = 1 AB．
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.A
应用格式：∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC = 1 AB．
判断下列说法是否正确：
直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
A．3cm C．9cm
B．6cm D．12cm
例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB 上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(D)
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝ 30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度 是12cm.故选D.注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角 三角形．
例2如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA
于D，若PC＝3，则PD等于(
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合
运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， 过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样 的数量关系？请说明理由．
解： C D1D B .
2理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC，
2∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.222
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此
例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点， 立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立 柱BC、DE 要多长？B
DAEC想一想：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别 是多少度？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC=AB,DE=AD.22
∴BC= 1AB= 1 ×7.4=3.7(m).
∴DE=1AD= 1×3.7=1.85(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，11∴CD= 2 AC= 2 ×20=10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性
质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美 化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮
B．150a元 D．225a元
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地 面成30°角，这棵树在折断前的高度为( B)
至少需要( B) A．300a元 C．450a元
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB= .
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD是高，∠A =30°，
AB =4．则BD =.
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线， BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=1 AE= 1BE=2.5．22
7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.
8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点， 且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，
∴△ADC≌△BEA.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
前提条件：直角三角形中