2021年广西桂林市中考数学真（原卷+解析）

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2021年广西桂林市中考数学真题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（　　）
A. 3 B. 1 C. ﹣2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较即可得出结论．
【详解】解：∵，-2，
∴小于0的数是-2．
故选择C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题关键．
2. 如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（　　）

A. 70° B. 90° C. 110° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的性质即可求解．
【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，
∴∠2=∠1＝110°
故选：C．
【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知对顶角的性质．
3. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4. 某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们成绩（单位：分）分别是8，6，8，7，9，这组数据的中位数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义即可求解．
【详解】把数据排列为6,7,8,8,9
故中位数是8
故选C．
【点睛】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义．
5. 若分式的值等于0，则x的值是（　　）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
【详解】由题意可得：且，解得．
故选A．
【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
6. 细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A. 25×10﹣5米 B. 25×10﹣6米 C. 2.5×10﹣5米 D. 2.5×10﹣6米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7. 将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组的解集表示方法即可求解．
【详解】不等式组的解集在数轴上表示出来为

故选B．
【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法．
8. 若点A（1，3）在反比例函数y的图象上，则k的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法把（1，3）代入反比例函数得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把（1，3）代入反比例函数得：
＝3，
解得：k＝3，
故选择C．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确掌握待定系数法求反比例函数解析式方法，把图象上点的坐标代入是解题的关键．
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（　　）

A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故选：B
【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
10. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．
11. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D

【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．
12. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 16（1﹣x）2＝9 B. 9（1+x）2＝16 C. 16（1﹣2x）＝9 D. 9（1+2x）＝16
【答案】A
【解析】
【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算：=______．
【答案】-6
【解析】
【详解】试题分析：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘.
=-6．
考点：有理数的乘法
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数乘法法则，即可完成.
14. 如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ___∠2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

【答案】=．
【解析】
【分析】由图形可知∠1 与∠2同位角，利用直线平行判定定理可以确定∠1 =∠2，可判断a//b．
【详解】解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，
∴当∠1 =∠2，a//b．
故答案为=．
【点睛】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键．
15. 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝4，则BC是________．

【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】∵D、E分别是AB和AC上的中点，
∴BC=2DE=8，
故答案为8．
16. 在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的5个球：2个白球和3个红球．从中任意取出1个球，取出的球是红球的概率是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】2个白球和3个红球．从中任意取出1个球，取出的球是红球的概率是
故答案为：．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的运用．
17. 如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 ___．

【答案】y=x-1
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案．
【详解】解：直线y＝﹣x+1与关于x轴对称的直线的函数表达式为-y=-x+1，
即y=x-1．
故答案为：y=x-1
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b．
18. 如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ___．

【答案】
【解析】
【分析】连接AA′，根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，再根据等腰三角形的性质，结合已知条件得出旋转角，然后利用三角形的性质和勾股定理得出答案；
【详解】解：连接AA′，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′
∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，
∴∠OA′A=∠OAA′=，
∴∠BAA′=，
∴∠ABA′=∠AA′B=，
∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A，
∴，
∴，∠A′AB=30°，
∴△OAA′为等边三角形，
∴AA′=AB=2，
过点A′作A′E⊥AB于E，
∵∠A′AB=30°，
则A′E=，AE=，
∴BE=，
∴A′B=，
∵A′C′=，
∴BC′= A′B+ A′C′=；
故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是得出旋转角得出△OAA′为等边三角形．
三、解答题（本大题共8题，共66分）
19. 计算：|﹣3|+（﹣2）2．
【答案】7
【解析】
【分析】根据有理数的绝对值以及乘方的意义化简各数后即可得到答案．
【详解】解：|﹣3|+（﹣2）2
=3+4
=7
【点睛】此题主要考查了有理数的运算，正确化简各数是解答此题的关键．
20. 解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【解析】
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法
21. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．

（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．
【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可；
（2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可.
【详解】解：（1）如图，线段即为所求作的线段，
（2）如图，线段即为所求作的线段，

【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．

（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵点O是对角线BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
23. 某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示．

（1）甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
（2）求乙同学5次试投进球个数的平均数；
（3）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
（4）学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．
【答案】（1）众数8个，（2）个；（3）甲投篮成绩更加稳定；（4）推荐乙参加投篮比赛，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据众数定义求即可；
（2）根据平均数公式求即可；
（3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，可得甲投篮成绩更加稳定；
（4）由乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，推荐乙参加投篮比赛即可．
【详解】解：（1）∵甲同学5次试投进球个数分别为8,7,8,9,8，
∴甲同学5次试投进球个数的众数是8个，
（2）乙同学5次试投进球个数分别为8,10,6,7,10，
∴个；
（3）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，
∴甲投篮成绩更加稳定；
（4）∵乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，而甲没有进10球的可能，为了能获得冠军，推荐乙参加投篮比赛．
【点睛】本题考查众数，平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策，掌握众数，平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策是解题关键．
24. 为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作a天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
25. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．

（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）半径为2，面积为
【解析】
【分析】（1）根据垂直的性质及相似三角形的判定定理即可求解；
（2）延长DE、AB交于N点，先证明△DCE≌△NBE，再得到△AND是等腰三角形，得到∠DAE=∠NAE，再通过角平分线的性质即可得到OG=OM=r，故可证明；
（3）求出∠FOG=60°，再根据梯形与扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E．
∴∠EAB+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠DEC
由∠B＝∠C＝90°
∴△ECD∽△ABE；
（2）过点O作OM⊥AD，延长DE、AB交于N点
∴CDBN
∴∠CDE=∠N
∵点E为BC中点
∴CE=BE，
又∠EBN＝∠C＝90°
∴△DCE≌△NBE
∴DE=NE
∵AE⊥DN
∴AD=AN，∠ADE=∠ANE
∵∠DAE=90°-∠ADE，∠NAE=90°-∠ANE
∴∠DAE=∠NAE
∵AG是⊙O的切线
∴OG⊥AB
∵∠AMO=∠AGO=90°
∴OG=OM=r

∴OM是⊙O的切线；
（3）∵BC＝6，
∴BE=3
∵AB＝3，
∴AE==2BE
∴∠EAB=30°
∴AO=2OG，即AO=2r，
∵AE=AO+OE=3r=6
∴r=2
连接OF
∵∠OEF=60°，OE=OF
∴△OEF是等边三角形
∴∠EOF=60°，EF=OF=2,BF=3-2=1
∴∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60°
Rt AOG中，AG=
∴BG=AB-AG=
∴S阴=S梯形OFBG-S扇形FOG= =．

【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理、全等三角形与相似三角形的判定与性质及扇形面积公式．
26. 如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）把代入函数解析式求解 再把代入求解 令列方程，再解方程即可得到的坐标；
（2）设 再利用勾股定理表示 再利用 从而列方程解方程可得答案；
（3）分两种情况讨论，当时，求解的解析式，再求解的坐标即可，当过的中点时满足条件，再求解的解析式即可得到答案.
【详解】解：（1）把代入函数解析式得：


把代入

令


结合题意可得：
（2）如图，设 而


则






（3）存在，理由如下：
如图，连接 过作交抛物线于
则到直线的距离相等，
设直线为
得：
直线为
由 设为，而
则直线为


解得：或

如图，当过的中点时，则
到的距离相等，

则
同理可得：的解析式为：

解得：或

综上：或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，两平行线之间的距离，三角形的中线的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.