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2021年湖南省益阳市中考数学真题试卷（含解析）
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这是一份2021年湖南省益阳市中考数学真题试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
3．将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
5．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（ ）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
10．如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．若实数a的立方等于27，则a＝ ．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 ．
14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
15．已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ ．
16．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 度．
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 （限填序号）．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19先化简，再求值：，其中a＝2．
20如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
21如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
26已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：A．
2．已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
【分析】A．直接合并同类项判断结果是否正确；
B．直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；
C．直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；
D．直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．
【解答】解：A．3a﹣2a＝a，故此选项不合题意；
B．3a•2a＝6a2，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（2a）3＝8a3，故此选项不合题意；
故选：C．
3．将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
4．解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
【分析】①﹣②得出（2x+y）﹣（2x﹣3y）＝3﹣4，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：，
①﹣②，得4y＝﹣1，
故选：D．
5．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
【分析】利用正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的性质，对每个选项进行判断后得出结论．
【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大，
对于反比例函数y＝，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x在第一、三象限，
对于反比例函数y＝，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝2，y＝2×2＝4≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（2，1）．
∵当x＝2时，y＝，
∴反比例函数y＝的图象经过（2，1），
∴D选项不符合题意．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
7．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（ ）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可．
【解答】解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30
＝（4800+480）÷30
＝176（元），
故选：C．
10．如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行四边形的性质可知，当点P在A处时（即x＝0），△BPC的面积为2，当点P运动到B时（即x＝2），△BPC的面积为0，因为△BPC的底边AP边上的高不变，所以y是x的一次函数，据此判断即可．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，
∴当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；
∵△BPC的底边AP边上的高不变，
∴y是x的一次函数，
故只有选项B符合题意．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．若实数a的立方等于27，则a＝ 3 ．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵a3＝27，
∴a＝＝3，
故答案为：3．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 0 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
又x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴符合不等式组的x的值为0或1或2等，
故答案为：0（答案不唯一）．
14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
【分析】由小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，利用概率公式可求他选到锄头的概率．
【解答】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，
∴他选到锄头的概率是：．
故答案为：．
15．已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ 6 ．
【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
16．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 60 度．
【分析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 ① （限填序号）．
【分析】由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴∴＝（）2＝．
故答案为：．
三．解答题
19先化简，再求值：，其中a＝2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，﹣2．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝2时，原式＝＝﹣2．
20如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】AC＝12．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝6，∠BCD＝90°，AC＝BD，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，
又∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2×6＝12，
∴AC＝12．
21如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）（2，0）；
（2）y＝．
【分析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标；
（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝，将B点坐标代入，即可求出该反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）本次被调查的居民人数是400人；
（2）见解析；
（3）估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
【分析】（1）由步行类的人数及百分比即可求出本次被调查的居民人数；
（2）用样本容量乘以球类的百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以爱好运动者的百分比求出爱好运动的人数，爱好运动的人数乘以偏好器械的百分比即可．
【解答】解：（1）140÷35%＝400（人），
答：本次被调查的居民人数是400人；
（2）偏好球类的人数：400×25%＝100（人），
补全条形统计图如下：
（3）10000×80%×（1﹣35%﹣30%﹣25%）＝800（人），
答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】27米．
【分析】要求BD的长，由题意知可先求出BC、CD的长．再利用BD＝CD﹣BC求出BD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cos∠BAC＝AB•cos13°≈50×0.97＝48.5（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78﹣37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米．
24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
【分析】（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，由题意得到二元一次方程组，求解即可．
（2）设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.7（千米），乙每天的施工长度为64÷40×＝0.9（千米），根据题意列出一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，
根据题意，
得：，
解得：，
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）设甲队后期每天施工a千米，
甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.7（千米），
乙每天的施工长度为64÷40×＝0.9（千米），
根据题意，得：0.7×5+0.9×（40﹣3）+（40﹣3﹣5）a≥64，
解得：a≥0.85，
答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）EA平分∠DEF，理由见解答过程；（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，由∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，得∠ABC＝∠AEF，可推得∠AEB＝∠AEF即可；
（2）①通过HL证Rt△ABD≌Rt△ACF即可得出BD＝CF；
②由全等知DE＝EF，BD2﹣DE2＝BE•CE，通过相似可证BE•CE＝AE•EG，即可解决问题．
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由△ADE≌△AFE可知：DE＝FE，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD2﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE2+AE•EG．
26已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【答案】（1）①x1＝2，x2＝﹣4；②﹣；（2）直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
【分析】（1）①将y2＝y1＝4时代入相应解析式计算即可；②由|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0得x1＝﹣x2，将w化为自变量为x1的二次函数，求出最小值；
（2）设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，由角平分线与平行，可推导出AM＝MP'，表示出AM，PM，AP的长度，通过勾股定理得出等式，化简即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵y＝，由x2＜x1且y2＝y1＝4时，
由y1＝x12＝4，
∴x1＝2（负值舍），
由y2＝﹣x2＝4，
∴x2＝﹣4，
②∵|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0，
∴x2＜0且x1＝﹣x2，
∴y1＝x12，y2＝﹣x2＝x1，
∴w＝y1﹣y2＝x12﹣x1＝（x1﹣）2﹣，
∴当x1＝时，w有最小值为﹣，
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，
∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
∴x1＞0，y1＝x12＞0，
∴x1＝，
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（0，y1），AP＝x1＝，
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y1），
∴PM＝|y1﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|，
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（）2+|y1﹣b|2＝|y1+b|2，
化简得：y1﹣4by1＝0，
∵y1＞0，
∴b＝，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
2021年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
3．将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
5．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（ ）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
10．如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．若实数a的立方等于27，则a＝ ．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 ．
14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
15．已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ ．
16．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 度．
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 （限填序号）．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19先化简，再求值：，其中a＝2．
20如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
21如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
26已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：A．
2．已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
【分析】A．直接合并同类项判断结果是否正确；
B．直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；
C．直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；
D．直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．
【解答】解：A．3a﹣2a＝a，故此选项不合题意；
B．3a•2a＝6a2，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（2a）3＝8a3，故此选项不合题意；
故选：C．
3．将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
4．解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
【分析】①﹣②得出（2x+y）﹣（2x﹣3y）＝3﹣4，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：，
①﹣②，得4y＝﹣1，
故选：D．
5．正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
【分析】利用正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的性质，对每个选项进行判断后得出结论．
【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大，
对于反比例函数y＝，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x在第一、三象限，
对于反比例函数y＝，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝2，y＝2×2＝4≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（2，1）．
∵当x＝2时，y＝，
∴反比例函数y＝的图象经过（2，1），
∴D选项不符合题意．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
7．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（ ）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可．
【解答】解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30
＝（4800+480）÷30
＝176（元），
故选：C．
10．如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行四边形的性质可知，当点P在A处时（即x＝0），△BPC的面积为2，当点P运动到B时（即x＝2），△BPC的面积为0，因为△BPC的底边AP边上的高不变，所以y是x的一次函数，据此判断即可．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，
∴当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；
∵△BPC的底边AP边上的高不变，
∴y是x的一次函数，
故只有选项B符合题意．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．若实数a的立方等于27，则a＝ 3 ．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵a3＝27，
∴a＝＝3，
故答案为：3．
12．一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
13．已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 0 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
又x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴符合不等式组的x的值为0或1或2等，
故答案为：0（答案不唯一）．
14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
【分析】由小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，利用概率公式可求他选到锄头的概率．
【解答】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，
∴他选到锄头的概率是：．
故答案为：．
15．已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ 6 ．
【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
16．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 60 度．
【分析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 ① （限填序号）．
【分析】由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴∴＝（）2＝．
故答案为：．
三．解答题
19先化简，再求值：，其中a＝2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，﹣2．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝2时，原式＝＝﹣2．
20如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】AC＝12．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝6，∠BCD＝90°，AC＝BD，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，
又∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2×6＝12，
∴AC＝12．
21如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）（2，0）；
（2）y＝．
【分析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标；
（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝，将B点坐标代入，即可求出该反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）本次被调查的居民人数是400人；
（2）见解析；
（3）估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
【分析】（1）由步行类的人数及百分比即可求出本次被调查的居民人数；
（2）用样本容量乘以球类的百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以爱好运动者的百分比求出爱好运动的人数，爱好运动的人数乘以偏好器械的百分比即可．
【解答】解：（1）140÷35%＝400（人），
答：本次被调查的居民人数是400人；
（2）偏好球类的人数：400×25%＝100（人），
补全条形统计图如下：
（3）10000×80%×（1﹣35%﹣30%﹣25%）＝800（人），
答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】27米．
【分析】要求BD的长，由题意知可先求出BC、CD的长．再利用BD＝CD﹣BC求出BD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cos∠BAC＝AB•cos13°≈50×0.97＝48.5（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78﹣37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米．
24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
【分析】（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，由题意得到二元一次方程组，求解即可．
（2）设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.7（千米），乙每天的施工长度为64÷40×＝0.9（千米），根据题意列出一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，
根据题意，
得：，
解得：，
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）设甲队后期每天施工a千米，
甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.7（千米），
乙每天的施工长度为64÷40×＝0.9（千米），
根据题意，得：0.7×5+0.9×（40﹣3）+（40﹣3﹣5）a≥64，
解得：a≥0.85，
答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
25如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）EA平分∠DEF，理由见解答过程；（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，由∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，得∠ABC＝∠AEF，可推得∠AEB＝∠AEF即可；
（2）①通过HL证Rt△ABD≌Rt△ACF即可得出BD＝CF；
②由全等知DE＝EF，BD2﹣DE2＝BE•CE，通过相似可证BE•CE＝AE•EG，即可解决问题．
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由△ADE≌△AFE可知：DE＝FE，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD2﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE2+AE•EG．
26已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【答案】（1）①x1＝2，x2＝﹣4；②﹣；（2）直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
【分析】（1）①将y2＝y1＝4时代入相应解析式计算即可；②由|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0得x1＝﹣x2，将w化为自变量为x1的二次函数，求出最小值；
（2）设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，由角平分线与平行，可推导出AM＝MP'，表示出AM，PM，AP的长度，通过勾股定理得出等式，化简即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵y＝，由x2＜x1且y2＝y1＝4时，
由y1＝x12＝4，
∴x1＝2（负值舍），
由y2＝﹣x2＝4，
∴x2＝﹣4，
②∵|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0，
∴x2＜0且x1＝﹣x2，
∴y1＝x12，y2＝﹣x2＝x1，
∴w＝y1﹣y2＝x12﹣x1＝（x1﹣）2﹣，
∴当x1＝时，w有最小值为﹣，
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，
∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
∴x1＞0，y1＝x12＞0，
∴x1＝，
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（0，y1），AP＝x1＝，
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y1），
∴PM＝|y1﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|，
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（）2+|y1﹣b|2＝|y1+b|2，
化简得：y1﹣4by1＝0，
∵y1＞0，
∴b＝，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
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