2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题  一、单选题1．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【详解】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.2．已知x，y为正实数，则（　　）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【详解】因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D． 3．定义一种运算：，已知函数，那么的大致图象是（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵∴f（x）=2x⊗（3-x） ,这个函数图象的最低点是（1，2），∵函数y=f（x+1）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到的，故函数y=f（x+1）图象的最低点是（0，2），结合已知一次函数和指数函数的图象，得到正确选项为B．故选B．4．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间上，再由单调性得大小关系、【详解】因为任意，当时，都有，所以在上是增函数，因为，所以，是周期函数，周期是8；由是偶函数，得的图象关于直线对称，，，又，所以．故选：C．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．  二、填空题5．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.【答案】{5}【详解】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．6．已知幂函数的图象过点，则_____________．【答案】（填亦可）【分析】设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.故答案为（填亦可）【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.7．函数的定义域为________.【答案】【分析】由分母不为0，真数大于0可得．【详解】，，解得且，定义域为．故答案为：．8．已知函数的定义域为，则的值域为_____________．【答案】【详解】试题分析：函数的对称轴为，所以在区间上，函数的最大值为，函数的最小值为，所以函数的值域为．【解析】二次函数的性质．9．已知函数，若对任意均有，则的取值范围是_________.【答案】【分析】先判断出为增函数，列不等式组即可解得.【详解】根据题意，对任意均有，则为增函数，只需或解得：或，故实数的取值范围是.故答案为：【点睛】函数单调性的等价结论：（1）复合函数单调性满足同增异减；（2）为增函数或，为减函数或.10．设，且，则_________.【答案】2【分析】先利用判断出a=b，并进行指对数互化，由求出a=1，即可求出m.【详解】∵∴又，∴∴m=2故答案为：2【点睛】指、对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．11．已知，则________．【答案】，【分析】先利用换元法求得函数的解析式，注意定义域.【详解】令，则，且，可得，所以().故答案为：，．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解及应用，其中解答中合理利用换元法求得函数的解析式是解答的关键，属于基础题目.12．若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】由可得出，设函数，将问题转化为函数与函数的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.【详解】由可得出，设函数，则直线与函数的图象有交点，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是_________.【答案】【分析】根据偶函数定义化自变量为负数，然后由单调性求解．【详解】因为是偶函数，所以不等式化为，又在区间上单调递增，所以，，，，所以．故答案为：．14．已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和_________.【答案】6【分析】用赋值法确定为奇函数，然后构造一个奇函数求的最大值和最小值，从而可得结论．【详解】在中，令得，即，令得，即，所以是奇函数，令，则，是奇函数，所以在对称区间上，当时，，，所以．故答案为：6．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，解题关键是构造奇函数．所用结论是：是（或，）上的奇函数，则．16．自然对数的底数是一个无限不循环小数，其值为2.71828…，已知函数，若存在三个不同的实数，使得，则的取值范围为_________.【答案】【分析】首先画出函数的图象，根据条件可知，再根据图象求的取值范围，再求的取值范围.【详解】如图，画出函数的图象，设，由图象的对称性可知，时，，时，，所以，即的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 三、解答题17．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.【答案】(1) a＝6，b＝9，c＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0即得c＝－8. 因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b的值.(2)先求出P＝－≤x≤1}，再求集合P∩Z.【详解】(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，所以P＝－≤x≤1}，所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}分析得到A＝{3}.18．根据市场调查，某商品在最近40天内价格与时间的关系用图1中的一条折线(实线)表示，销量与时间的关系用图2中的线段(实线)表示().（1）分别写出图1表示的价格与时间的函数关系与图2表示的销售量与时间的函数关系(不要求计算过程)；（2）这种商品的销售额为，为销售量与价格之积，求的最大值及此时的时间.【答案】（1），；（2），此时或.【分析】（1）通过图1表示的价格与时间的函数关系分段可得的解析式；通过图2表示的销售量与时间的函数关系可得的解析式，注明函数的定义域；（2）利用函数的解析式，通过配方，分别求出函数的最值比较可得答案.【详解】（1）当时，设函数为，因为经过点和，所以，解得，此时，当时，设函数为，因为经过点和，所以，解得，此时，所以，设，因为图象经过点和，所以，解得，所以.（2）当时，，因为，所以或时，，当时，，当时， 为减函数， 所以，而，所以或时，，故当或时这种商品的销售额最大，为176.【点睛】本题考查函数的实际应用、二次函数求最值，解题的关键点是根据图象求出解析式，考查销售分析问题、解决问题的能力.19．已知.（1）当时，用定义证明函数的单调性，并求函数的最小值；（2）如对任意，恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，最小值为；（2）.【分析】（1）用定义法证明函数的单调性，并直接求出最小值；（2）把 “对任意，恒成立，”转化为：恒成立，用分离参数法求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，任取，则有：∵，∴，∴，即，∴在上单调递增.∴，即最小值为.（2）∵任意，恒成立，可化为：恒成立，即恒成立，只需记则在上单调递减∴∴即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：（1）证明函数的单调性用定义法；（2）求参数的取值范围用分离参数法.20．已知函数.(且).（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式的解集为，求的值；（3）设的反函数为，若，解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）或；（3）当时，解集为；当时，解集为.【分析】（1）用定义法判断奇偶性；（2）由的解集为转化为为方程的根，解得a；（3）先求出反函数，解得a=2，然后解不等式即可.【详解】解：的定义域为（1）为奇函数.∵，∴为奇函数.（2）∵，∴的解集为即为的解集为∴为方程的根，即，解得：或.（3）∵，∴.∵，解得：a=2∴即为∴当时，，而，∴当时，解得：综上：当时，解集为；当时，解集为.【点睛】（1）证明函数的奇偶性用定义法；（2）不等式对应的解集是用不等式对应方程的根表示；21．已知函数，其中为常数.（1）当时，解不等式；（2）已知为偶函数，且，当时，有，若，且，求函数的反函数；（3）若在上存在个不同的值，，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2），，；（3）.【分析】（1）去绝对值，利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）首先判断函数的周期，利用函数的周期和偶函数的性质，得到函数关系式，当时，，求出函数的反函数．（3）当和时，函数单调递增，利用函数的单调性去绝对值，列不等关系求实数的取值范围，当时，，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】（1）解不等式当时，，所以当时，，所以，综上，该不等式的解集为（2）当时，，因为，所以是以2为周期的偶函数，所以，由，且，得，所以当时，所以当时，，所以函数的反函数为（3）①当时，在上，是上的增函数，所以所以，得；②当时，在上，是上的增函数，所以所以，得；③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是令，解得或，不符合题意；④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，令，解得或，不符合题意.综上，所求实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题．