2020-2021学年北京101中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年北京101中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域后，由交集定义计算．

【详解】由得，∴，又，

∴．

故选：D．

2．可化简为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式即可化简得出.

【详解】.

故选：B.

3．向量“，不共线”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先转化条件，再判断充分性成立和必要性,即可求解.

【详解】解：由题意：

，此时，不共线或反向共线，

充分性：由“，不共线”可推出“”，所以充分性成立；

必要性：若“”，推不出“，不共线”，所以必要性不成立.

所以“，不共线”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．函数，的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由诱导公式化简函数后，结合余弦函数性质求解．

【详解】由已知，又，∴．

故选：B

5．已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据偶函数得，，再根据单调性即可判断.

【详解】因为是偶函数，，，

又在上单调递减，，

，即.

故选：C.

6．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得到根为，；乙写错了常数，得到根为，．那么原方程的根正确的是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】换元变形为一元二次方程，然后由一元二次方程根与系数的关系求得参数，然后再求解．

【详解】设，则方程变为，即，

由题意．方程的解是，则，

方程的解是，∴，，

∴方程为，解得或，

由得或．

故选：C．

7．已知，，那么的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】，

解得，所以，

即，

又，所以，

所以.

故选：D

8．如图所示的是函数（）的图像，是图像上任意一点，过点作轴的平行线，交图像于另一点（，可重合）.设线段的长为，则函数的图像是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】时，

时表示递减的一次函数

所以选A.

点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系

9．已知，则的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式化简后结合解得，然后判断．

【详解】由题意，

由，解得，或，

时，，时，．

故选：C．

10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（    ）

A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟

【答案】B

【分析】由题可得此人相对于地面的高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出.

【详解】设时间为时，此人相对于地面的高度为，

则由题可得当时，，

在时间时，此人转过的角为，

此时此人相对于地面的高度，

令，则，

所以，解得，

故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是得出高度与时间的关系，再解三角函数不等式即可.

二、填空题

11．已知向量，，且，则实数______

【答案】

【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由，，且，

则，解得.

故答案为：

12．若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为______

【答案】．

【分析】若，则由角，且角的终边与角的终边关于直线对称，可得，由此求得故当时，角的取值集合．

【详解】若，则由角，且角的终边与角的终边关于直线对称，可得，

故当时，角的取值集合是，

故答案为：．

13．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______

【答案】0

【分析】由题可得，解出即可.

【详解】由题可得，解得.

故答案为：0.

14．在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.

【答案】

【分析】由题意易得每个向量的坐标，由斜率共线可得和的关系式，变形可得答案．

【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，

则，，，

，

与共线，

，

，即

故答案为：

【点睛】本题考查平行向量与共线向量，属于基础题．

15．已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：

①若，，则为的内心；

②若，则直线经过的重心；

③若，且，则点在线段上；

④若，则点在外；

⑤若，则点在内．

其中真命题为______

【答案】②④

【分析】①可得在的角平分线上，但不一定是内心；②可得在BC边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断.

【详解】①若，，则，因为是和同向的单位向量，则在的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；

②若，则，则根据平行四边形法则可得，在BC边中线的延长线上，故直线经过的重心，故②正确；

③若，且，则，即，即，则点在线段上或的延长线上，故③错误；

④若，，整理可得，，根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故④正确；

⑤若，则令，则，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故⑤错误.

故答案为：②④.

【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.

三、双空题

16．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系（为常数）．求得______；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气______分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．

【答案】．    ．   

【分析】由已知得当时，，代入可求得答案；根据题意构造不等式，解之即可．

【详解】由已知得当时，，所以，解得，

所以，所以，解得，

故答案为：；．

四、解答题

17．已知函数．

（1）求函数的值域：

（2）若函数的图像与函数的图像有交点，请直接写出实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）分段讨论去绝对值得出解析式，即可求出值域；

（2）分和两种情况讨论可求出.

【详解】（1）可得，

当，，当，，

所以函数的值域为；

（2）的定义域为，

当时，，

则当时，单调递减，此时的图像与的图像有交点，满足题意，

当时，要使函数图像有交点，需满足，解得，

综上，或.

【点睛】本题考查分段函数的值域以及对数图象的应用，解题的关键是正确理解对数函数的图象.

18．已知关于的方程的两根为和，．

（1）求实数的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b的值，利用对b的值进行取舍即可.

由可知的值,利用，求出的值，代入原式即可.

【详解】（1）∵为关于的方程的两根，∴，

所以，即，解得，此时，

又，∴，∴.

（2）由（1），得,又，所以，

∴，

∴.

【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到和的表达式，再结合是求解本题的关键；其中由对取值进行取舍是本题的易错点.

19．已知函数，，

（1）①直接写出函数的奇偶性；

②写出函数的单调递增区间，并用定义证明；

（2）计算：      ；

      ；

      ；

（3）由（2）中的各式概括出和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并加以证明．

【答案】（1）①奇函数；②，，证明见解析；（2）0，0，0；（3），证明见解析

【分析】（1）①利用奇偶性定义可判断；②任取，计算化简并判断正负即可得出；

（2）直接计算即可求出；

（3）由（2）可得出，代入解析式计算即可证明.

【详解】（1）①的定义域为关于原点对称，

，

是奇函数；

②任取，则，

，

∵，，，，

，

在单调递增，

∵是奇函数，在也单调递增，

故的单调递增区间为，；

（2） ，

，

；

（3）由（2）可推出，

.

【点睛】思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：

（1）在定义域内任取；

（2）计算并化简整理；

（3）判断的正负；

（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.

20．设是由个实数构成的一个有序数组，记作．其中称为数组的“元”，称为数组的“元”的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的“子数组”．定义两个数组，的“关系数”为．

（1）若，，且中的任意两个“元”互不相等，的含有两个“元”的不同“子数组”共有个，分别记为．

①      ；

②若，，记，求的最大值与最小值；

（2）若，，且，为的含有三个“元”的“子数组”，求的最大值．

【答案】（1）①6；②最大值为199，最小值为5；（2）1

【分析】（1）①根据“子数组”的定义可得；

②不妨设，则可得，根据可得最值；

（2）分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质即可求解.

【详解】（1）①根据“子数组”的定义可得，的含有两个“元”的不同“子数组”有共6个，；

②不妨设，

，

因为，

则当时，取得最大值为，

当是连续的四个整数时，取得最小值为；

（2）由，且可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，

①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，

因为，则，

可得，

故当时达到最大值，故；

②当0不是中的“元”时，

，

又，

则，

当且仅当时，取到最大值，故，

综上，.

【点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解子数组的定义以及“关系数”的定义，巧妙利用不等式的性质求解.