2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由，，则.故选：B2．命题“”的否定是（  ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，的否定是，即可得到答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，的否定是，所以命题“”的否定是故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；对C，在单调递递减，故C错误；对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选：A.4．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.【详解】因为是定义在上的连续函数，当时，，所以，即零点不可能在内；任取，则，因为，所以，，即，即，所以在上单调递增；又，，，，根据零点存在性定理，可得在内有零点，故选：C.5．已知函数.若，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得与是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解.【详解】由，则，所以函数为偶函数，又，则，所以.故选：D6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.【详解】，由是单调递减函数，，所以 是单调递减函数，，所以故选：A7．已知函数可表示为（    ）1234则下列结论正确的是（    ）A． B．的值域是C．的值域是 D．在区间上单调递增【答案】B【分析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.【详解】A. ，所以该选项错误；B. 由表得的值域是，所以该选项正确；C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（    ）A．10 B．30 C．100 D．1000【答案】D【分析】根据题意，把转化为对数运算即可计算．【详解】由题意可得：故选：D【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.9．已知，均为第一象限角，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可.【详解】由均为第一象限的角，满足，但，因此不充分；由，得均为第一象限的角，得到，因此不必要；故选：D.10．设函数，若存在实数，满足当时，，则正整数的最小值为（    ）A．505 B．506 C．507 D．508【答案】C【分析】根据正弦函数的性质，确定的最值，根据题中条件，得到尽可能多的取得最大值，即可求解.【详解】因为，即，，所以，当与一个等于，另一个为时，取得最大值；为使满足的正整数最小，只需尽可能多的取得最大值，而，所以至少需个，才能使，此时，即.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定的最大值，得到中有项取得最大值时，即可求解.  二、填空题11．函数的定义域为______.【答案】【分析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.【详解】由，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：12．已知，，且，则的最大值为______.【答案】【分析】利用基本不等式直接求解即可.【详解】解：因为，所以，即，当且仅当取等号，所以的最大值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______.【答案】【分析】根据正切函数的定义即可求出.【详解】终边经过点，.
故答案为：.14．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】令，将代入可求出.【详解】令，，解得，关于对称，是的对称轴，，解得，令得.故答案为：（答案不唯一，满足即可）.15．设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【分析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可.【详解】由知，，，故，得，故①正确；取，满足，但，不满足，故②错误；由指数函数单调递增可知，，则，故③正确；由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确.故答案为：①③④. 三、双空题16．已知函数.①当时，的值域为______；②若对于任意，，，的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是______. 【答案】；    .    【分析】①当时，先利用分离常数法整理函数， 再利用逐步计算，即得值域；②先分析知+恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.【详解】①当时，函数，定义域为R，由知，，则，即，故，的值域为；②依题意，作为某一个三角形的三边长，+恒成立，函数，定义域为R，任取，则，由可知，即，故，当，即时，，即，在R上单调递减，又，则，，即的值域为，故，则，又，要使+恒成立，则需，故的取值范围是；当，即时，，+，，显然+恒成立，故符合题意；当，即时，，即，在R上单调递增，又，则，，即的值域为，故，，要使+恒成立，则，即，故的取值范围是；综上所述：的取值范围是.故答案为：； .【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将+恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点. 四、解答题17．已知全集，集合，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设非空集合，若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合非空，且，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为，，所以或，则；（Ⅱ）因为非空集合，且，所以或，解得或，即实数的取值范围是.18．已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为；③；④.（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）①②④，见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）代入③计算，可判断不成立，故满足的三个条件为①②④；（Ⅱ）由①②④，分别计算的值，可得函数解析式；（Ⅲ）利用整体法列不等式计算单调递增区间.【详解】（Ⅰ）因为，，，所以，故③不成立；所以满足的三个条件为：①②④；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，最小正周期为，最大值为，可得，，所以，又因为，，则，即，得，所以.（Ⅲ）由，得，所以的单调递增区间为.【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.19．已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为，最大值为1；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得，代入可求；（Ⅱ）由可得，在利用正弦函数的性质即可求解；（Ⅲ）求出平移后的解析式，可得，即可解出，得出最小值.【详解】（Ⅰ），；（Ⅱ）当时，，则当，取得最小值为，当，取得最大值为1；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，可得，则和的图象重合，，解得，，则当时，取得最小值为.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得.20．设函数，且.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）.【答案】（1）；（2）在区间上为增函数，证明见详解；（2）【分析】（1）将直接代入即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.（3）根据的单调性，即可得出结果.【详解】（1）由，，即，解得.（2）在区间上为增函数，由（1）可知，任取，且，则 ，由，，，所以，即，所以函数为增函数.（3）由，可知.21．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数.（i）证明函数的图象关于点对称；（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）（i）证明见详解；（ii）【分析】（Ⅰ）计算，令，即求.（Ⅱ）（i）计算，由新定义即可证明；（ii）求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围.【详解】（Ⅰ）由题意，若函数的图象关于点对称，则，令，可得.（Ⅱ）（i）由， ，所以函数的图象关于点对称.（ii），函数在上单调递增，所以，不妨设在上的值域为，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，且，当时，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递增，由，，所以， ，由，可得，解得，当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，，，又，，，又，，当，成立；当，即时，在上单调递减， 所以在上单调递减，由，，所以，，由，可得，解得，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.