2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的运算直接求解即可

【详解】由全集，

则

故选：B

2．设命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论.

【详解】命题，则为：

故选：C

3．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象可得，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：由图象可得，所以，故A正确；

对于B：因为，所以，所以B错误；

对于C：因为，所以，故C错误；

对于D：当时，满足，此时，

所以，即，故D错误，

故选：A

4．三个实数，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数的单调性得出与的大小关系，利用指数函数的单调性得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系.

【详解】，，，因此，.

故选：B.

5．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用零点存在性定理结合可得解.

【详解】函数为增函数，且， ，

由零点存在性定理可知函数的零点所在的一个区间为.

故选：A.

【点睛】思路点晴：应用零点存在性定理求解.

6．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．

【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，

推出，“”是“”必要条件.

故选：．

【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．

7．单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，分钟转一圈，分钟之后从起始位置转过的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可出关于的等式，即可求得结果.

【详解】设分钟之后从起始位置转过的角，由题意可得，解得.

故选：D.

8．在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，点在角的终边上，由此可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可知，点在角的终边上，

由于角、角的终边关于直线对称，则点在角的终边上，

所以，.

故选：D.

9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（    ）

A．11% B．22% C．33% D．100%

【答案】C

【分析】根据题意，分别表示出等于1000和10000时对应的，相比即可求得答案.

【详解】由题意得比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.

所以，

所以，

所以C大约增加了33%.

故选：C

10．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点、、分别是半径、及扇形弧上的三个动点（不同于、、三点），则关于的周长说法正确的是（    ）

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】C

【分析】作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，利用、、、四点共线时，的周长取得最小值可得出结论.

【详解】如下图所示，作出关于的对称点，作出点关于的对称点，连接、，

由对称性可知，，

由于，则，，则，

所以，的周长为，

当且仅当、、、四点共线时，等号成立，但的周长无最大值.

因此，的周长有最小值，无最大值.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查三角形周长的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用四点共线时取得最值来求解.

二、填空题

11．_______________ .

【答案】

【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.

【详解】.

故答案为：.

12．函数的定义域是___________.

【答案】且

【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.

【详解】由题意得，解得且，所以定义域为：且

故答案为：且

13．已知是第三象限角，且，___________.

【答案】

【分析】由平方关系结合角所在象限可得，将条件代入可得答案.

【详解】已知是第三象限角，，

则

故答案为：

14．若函数在其定义域上单增，且零点为2，则满足条件的一个可能是____________.(写出满足条件的一个即可)

【答案】

【分析】根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可.

【详解】根据在其定义域上单增，且零点为2，即，

可写出一个函数.

故答案为：

15．已知函数的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数的说法：

①；

②；

③；

④，不等式的解集为.

其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)

【答案】①③

【分析】根据图象，可求得的值，即可判断①的正误；根据图中数据及在上的单调性，可判断②的正误；分别讨论和两种情况，求得解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式解集，即求的根，根据解析式，即可判断④的正误，即可得答案.

【详解】对于①：由图象可得：，所以，故①正确；

对于②：，且在上为单调递增函数，所以，

所以，故②错误；

对于③：当时，，，满足图象；

当时，，，斜率，满足图象，故③正确；

对于④：由题意得的解集为，即的根为，

根据解析式可得，当时，令，解得，所以解集为，故④错误.

故答案为：①③

三、解答题

16．已知集合，，.

（1）求，；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1），  （2）

【分析】（1）由交集和并集运算直接求解即可.
（2）由，则

【详解】(1)由集合，

则，

（2）若，则，所以

17．已知不等式的解集是M.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）根据，代入不等式成立，即可求得a的范围；

（2）根据M可得为方程的两根，利用韦达定理，可求得a的值，代入所求，即可求得答案.

【详解】（1）因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为

（2）因为，所以为方程的两根，

由韦达定理可得，解得，

所以不等式即为，即，

所以，解得或，

所以方程的解集为：或.

18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入(单位：元)关于月产量(单位：台)满足函数.

（1）将利润(单位：元)表示为月产量的函数；(利润总收入总成本)

（2）若称为月平均单件利润(单位：元)，当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？

【答案】（1）；（2）当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元.

【分析】（1）本题可分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果.

【详解】（1）当时，利润；

当时，利润，

故.

（2）因为，所以，

当时，

因为，当且仅当时取等号，

所以，当时，取最大值；

当时，，为单调递减函数，

此时，

综上所述，当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元.

【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题.

19．已知函数.

（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值.

【答案】（1），单调递增区间为 （2）时函数取得最小值，时函数取得最大值.

【分析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简即可得出单调递增区间；

（2）用整体代换法得当时，当时函数取得最小值，当时函数取得最大值.

【详解】解：（1）的最小正周期为

由得

所以的单调递增区间为

（2）当时

所以当即时函数取得最小值，

当即时函数取得最大值.

【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:

（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；

（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.

20．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

【分析】（1）本题可根据求出的解析式；

（2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论；

（3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果.

【详解】（1）因为，所以，

因为函数是奇函数，所以，

即，解得，.

（2）在上任取、，且，

则

，

因为，，，，

所以，，在区间上是减函数.

（3）因为是定义在上的奇函数和减函数，

所以即，，

则，解得，不等式的解集为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.

21．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.

（1）若集合，求集合的“耦合集”；

（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；

（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）5个

【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.

（2）由条件②可知的可能元素为：；由条件③可知得同理其它比得证；

（3）由（2）知得即，同理，故共5个元素.

【详解】解：（1）由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以；

（2）证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有；

（3）因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素.

【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义.