2020-2021学年北京市通州区高一上学期期末数学试卷 （解析版）

这是一份2020-2021学年北京市通州区高一上学期期末数学试卷 （解析版），共13页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市通州区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A．∅ B．R C．{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x≤2}
2．下列各角中与60°终边相同的角是（　　）
A．﹣300° B．﹣240° C．120° D．390°
3．已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是（　　）
A．sinθ＞0 B．cosθ＞0
C．sinθ•tanθ＞0 D．sin2θ•tanθ＞0
4．已知函数：①y＝tanx，②y＝sin|x|，③y＝|sinx|，则其中最小正周期为π的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知函数，在下列区间中包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（ 3，4）
6．“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在（0，1）上单调递增
B．是奇函数，且在（0，1）上单调递减
C．是偶函数，且在（0，1）上单调递增
D．是偶函数，且在（0，1）上单调递减
8．为了得到函数y＝cos2x的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9．函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（0，1） C． D．
10．如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sinx+cosx+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
二、填空题（共6小题）.
11．sin＝　 　．
12．已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为　 　；面积为　 　．
13．若sinα＝，α是第二象限的角，则tan2α＝　 　．
14．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为　 　；x的取值范围是　 　．
15．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的实数x恒成立，且当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x．
则①当1≤x≤3时，f（x）＝　 　；
②f（2021）＝　 　．
16．已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r．给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共6小题）.
17．已知函数．
（Ⅰ）写出函数f（x）的振幅、周期、初相；
（Ⅱ）用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象（先列表，再画图）．

18．已知锐角α、β的终边与单位圆的交点分别为，．
（Ⅰ）求tanβ及cos（π+α）的值；
（Ⅱ）求sin（α﹣β）．
19．（1）若，求的值；
（2）已知锐角α，β满足，若，求cosβ的值．
20．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，m]上单调递增，求实数m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）写出f（x）的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，上的最大值和最小值．
22．已知函数．
（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（﹣1，0）上的增函数；
（Ⅲ）求满足不等式f（cosx）＞f（sinx）的x的范围．


参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A．∅ B．R C．{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x≤2}
解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故选：C．
2．下列各角中与60°终边相同的角是（　　）
A．﹣300° B．﹣240° C．120° D．390°
解：对于A，﹣300°＝﹣1×360°+60°，与60°是终边相同的角；
对于B，﹣240°＝﹣1×360°+120°，与60°不是终边相同的角；
对于C，120°，与60°不是终边相同的角；
对于D，390°＝1×360°+30°，与60°不是终边相同的角．
故选：A．
3．已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是（　　）
A．sinθ＞0 B．cosθ＞0
C．sinθ•tanθ＞0 D．sin2θ•tanθ＞0
解：∵θ为第三象限角，
∴tanθ＞0，sinθ＜0，cosθ＜0，故A，B错误；
sinθ⋅tanθ＜0，故C错误；
sin2θ•tanθ＝2sinθcosθtanθ＞0，故D正确．
故选：D．
4．已知函数：①y＝tanx，②y＝sin|x|，③y＝|sinx|，则其中最小正周期为π的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解：①y＝tanx的周期T＝π，满足条件．
②y＝sin|x|是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．
③y＝sinx的周期T＝2π，则y＝|sinx|的周期T＝π，满足条件，
故选：B．
5．已知函数，在下列区间中包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（ 3，4）
解：函数是连续增函数，又f（2）＝ln2﹣＜0，
f（3）＝ln3﹣1＞0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数的零点在（2，3）内．
故选：C．
6．“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：sinα＝等价于或，
所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．
故选：A．
7．已知函数f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在（0，1）上单调递增
B．是奇函数，且在（0，1）上单调递减
C．是偶函数，且在（0，1）上单调递增
D．是偶函数，且在（0，1）上单调递减
解：f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x）＝ln（1﹣x2），
则f（﹣x）＝f（x），
故f（x）为偶函数，
当0＜x＜1时，f（x）＝ln（1﹣x2）单调递减，
故选：D．
8．为了得到函数y＝cos2x的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解：因为函数y＝cos2x＝sin（2x+），所以可由y＝sin2x的图象，向左平移个单位长度，得到函数y＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）＝cos2x的图象．
故选：B．
9．函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（0，1） C． D．
解：若函数在R上为减函数，
则满足，即，
得0＜a≤，
故选：D．
10．如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sinx+cosx+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
解：根据题意，设f（x）＝sinx+cosx+a，则f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）+a＝﹣sinx+cosx+a，
则f（x）+f（﹣x）＝2cosx+2a，
若函数y＝f（x）是“X﹣函数”，即f（x）+f（﹣x）＝2cosx+2a＝0无解，
又由cosx∈[﹣1，1]，必有a＜﹣1或a＞1，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：A．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11．sin＝　　．
解：sin＝sin（π﹣）＝sin＝．
故答案为：．
12．已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为　1　；面积为　1　．
解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，
所以该扇形的半径为r＝＝＝1；
面积为S扇形＝|α|•r2＝×2×12＝1．
故答案为：1，1．
13．若sinα＝，α是第二象限的角，则tan2α＝　　．
解：因为α为第二象限的角，又sinα＝，所以cosα＝﹣，
∴tan＝，
tan2α＝＝，
故答案为：．
14．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为　y＝3000﹣2.5x　；x的取值范围是　[100，1200]　．
解：由题意可得x与y之间的函数关系为y＝3000﹣2.5x，
由题意可知，最少买100千克，最多买千克，
所以x的取值范围为[100，1200]．
故答案为：y＝3000﹣2.5x；[100，1200]．
15．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的实数x恒成立，且当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x．
则①当1≤x≤3时，f（x）＝　2﹣x　；
②f（2021）＝　1　．
解：①，根据题意，f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（x）＝f（2﹣x），
当1≤x≤3时，﹣1≤2﹣x≤1，则有f（2﹣x）＝2﹣x，
则f（x）＝2﹣x，
②根据题意，f（x）＝f（2﹣x），
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），则有f（x+2）＝﹣f（x），
故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，
故f（2021）＝1，
故答案为为：①2﹣x，②1．
16．已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r．给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号是　①③　．
解：如图，AB为正n边形的边长为，O为正n边形的中心，其外接圆的半径为OB＝R，内切圆的半径为OP＝r，AB＝a；
θ＝∠POB＝∠AOB＝•＝；
对于①，＝，所以①对；
对于②，由①知，②错；
对于③，r＝Rcosθ⇒R+r＝R（1+cosθ）＝＝，所以③对；
对于④，由①知，④错．
故答案为：①③．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．已知函数．
（Ⅰ）写出函数f（x）的振幅、周期、初相；
（Ⅱ）用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象（先列表，再画图）．

解：（Ⅰ）由于，
可得函数f（x）的振幅为2、周期为π、初相为．
（Ⅱ）列表如下：

0

π

2π
x





f（x）
0
2
0
﹣2
0
f（x）在一个周期内的图象如图所示：

18．已知锐角α、β的终边与单位圆的交点分别为，．
（Ⅰ）求tanβ及cos（π+α）的值；
（Ⅱ）求sin（α﹣β）．
解：由已知可得：，
（Ⅰ）tan，cos（π+α）＝cos（）＝﹣cos，
故tanβ＝1，cos（π+α）＝﹣；
（Ⅱ）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin
＝，
故sin（α﹣β）＝．
19．（1）若，求的值；
（2）已知锐角α，β满足，若，求cosβ的值．
解：（1）因为tan，
则＝；
（2）因为锐角α，β满足，，
则，，
则sin（α+β）＝，cos（α﹣β）＝，
所以cos2β＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）
＝﹣＝，
所以cosβ＝．
20．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，m]上单调递增，求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）f（x）＝2（cosx+sinx）sinx＝sinxcosx+sin2x
＝sin2x+×＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，
即函数的周期T＝．
（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，
即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，
即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅲ）当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，
若函数f（x）在[0，m]上单调递增，
则0＜m≤，即实数m的取值范围是0＜m≤．
21．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）写出f（x）的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，上的最大值和最小值．
解：若取①ω1＝1，ω2＝2：
（Ⅰ）f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝sin（2x+）+1，
∴f（0）＝+1＝+1＝2；
（Ⅱ）∵f（x）＝sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
一条对称轴方程为x＝．
（Ⅲ）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，
∴函数f（x）在[0，上的最大值为：+1＝+1，
函数f（x）在[0，上的最小值为：+1＝0．
若取②ω1＝1，ω2＝1：
（Ⅰ）f（x）＝2cos2x+sinx＝2﹣2sin2x+sinx＝﹣2（sinx﹣）2，
∴f（0）＝﹣2×（0﹣）2＝2；
（Ⅱ）∵f（x）＝﹣2（sinx﹣）2，
∴f（x）的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x＝．
（Ⅲ）∵0≤x≤，∴0≤sinx≤1，
∴函数f（x）在[0，上的最大值为：，
函数f（x）在[0，上的最小值为：﹣2×（1﹣）2＝1．
22．已知函数．
（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（﹣1，0）上的增函数；
（Ⅲ）求满足不等式f（cosx）＞f（sinx）的x的范围．
【解答】证：（I）f（﹣x）＝＝＝f（x），
故f（x）为偶函数，
（II）﹣1＜x＜0时，＝＝﹣，
设﹣1＜x1＜x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是（﹣1，0）上的增函数，
（III）由（II）及偶函数的对称性可知，f（x）在（0，1）上单调递减，
由f（cosx）＞f（sinx）得，|cosx|＜|sinx|，
平方得，cos2x﹣sin2x＝cos2x＜0，
解得，，
故，k∈Z，
故x的范围{x|，k∈Z}．