2020-2021学年辽宁省鞍山市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年辽宁省鞍山市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年辽宁省鞍山市第一中学高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知，，则为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合B，再利用并集运算求解.【详解】因为，，所以，故选：D2．记，，，则 （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指对数的性质，比较a、b、c的大小.【详解】∴.故选：B.3．函数的零点所在的区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.【详解】，，且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且，所以函数的零点所在的区间为.故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.4．为定义在上的奇函数，当时，，则时，（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，得到，即可 求解.【详解】设，则，因为函数为定义在上的奇函数，且时，，可得，即当时，.故选：A.5．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数在上是减函数，利用二次函数的单调性求解.【详解】因为函数在上是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是故选：C6．已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式知关于y轴对称且在上递减，上递增，根据已知不等式，利用对称性有，即可求解集.【详解】由函数解析式知：关于y轴对称，且在上递减，上递增，∴，则有即可，当时，有恒成立；当 时，有即；当时，有不成立；∴不等式解集为.故选：D.【点睛】关键点点睛：由解析式判断函数的对称性，利用对称性，应用分类讨论法求绝对值不等式的解集.7．已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（   ）A． B． C． D．与的大小关系无法判断【答案】C【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断的大小.【详解】由题设，，即，∴，，即有.故选：C.8．设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条件可得答案．【详解】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，解得a＝1011，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的对称性的应用，本题的关键是理解点关于的对称点是. 二、多选题9．已知甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，若甲、乙各投篮一次，则（    ）A．都命中的概率是 B．恰有一人命中的概率是C．恰有一人没命中的概率是 D．至少一人命中的概率是【答案】ACD【分析】A. 由独立事件的概率求解判断；B.分甲命中乙没命中和甲没命中乙命中两类求解判断；C. 分甲命中乙没命中和甲没命中乙命中两类求解判断；D.利用对立事件的概率求解判断.【详解】因为甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，A.都命中的概率是，故正确；B.恰有一人命中的概率是，故错误；C.恰有一人没命中的概率是，故正确；D.至少一人命中的概率是，故正确；故选：ACD10．已知为坐标原点，，，则（    ）A．与同方向的单位向量为B．若，则点的坐标为C．若，则D．若，则四边形为平行四边形【答案】ACD【分析】利用单位向量的定义、向量共线的判定及性质，判断各选项的正误.【详解】A：，则，所以与同方向的单位向量为，正确；B：由知：，即，错误；C：由，，有，即，正确；D：，，则有且，即四边形为平行四边形，正确；故选：ACD.11．已知，，，则（    ）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】利用基本不等式判断A；利用，判断B；利用判断选项C，首先变形，展开后，利用基本不等式求最值.【详解】A.，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故A不正确；B.，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确；C.，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C不正确；D.，当时，即时，等号成立，，解得：，，所以的最小值是，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值，本题的关键是熟练掌握基本不等式的变形应用，，，，以及“1”的妙用解题.12．表示不大于的最大整数，设函数（    ）A．为增函数 B．为奇函数 C． D．【答案】BCD【分析】由题设，即知A、C、D的正误，利用奇偶性定义判断B的正误.【详解】由题意，时，，得；时，，得，∴，∴不是增函数，故A错误，，即为奇函数，故B正确；由解析式知，故C正确；，故D正确.故选：BCD.  三、填空题13．若，，则________【答案】.【分析】令，求得，根据，即可求解.【详解】由题意，函数，，令，可得，解得，则.故答案为：.14．甲、乙两位同学高三次物理模拟考试成绩如图所示，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则______【答案】.【分析】根据数据的平均数和众数的概念和计算，列出方程，即可求解.【详解】由茎叶图和众数的概念，可得乙的众数为，因为甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，所以，解得.故答案为：.15．，，则________【答案】2【分析】根据，，找到a、b、c的关系，计算.【详解】∵，，∴,∴，化简得：，即，∴，∴.故答案为：2【点睛】对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．16．对任意，，则实数的取值范围是________【答案】【分析】先用分离参数法，再求的值域，从而得到的取值范围.【详解】对任意，，∴对任意恒成立.令，设，则，∵在t≥1上，，∴，∴实数的取值范围是.故答案为：【点睛】求参数的取值范围常用分离参数法. 四、解答题17．已知集合，. （1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】由集合A的描述知，求出集合B，（1）由交集的结果列不等式，求m的范围；（2）根据充分不必要条件有，结合集合A、B列不等式组，求m的范围，注意验证结果是否符合要求.【详解】由，则，而，（1）由已知，或，解得，所以；（2）由题设知，即，解得，∵时，有，不合题意，故，∴.18．已知幂函数，为偶函数，且在区间上是增函数.函数，（1）求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据幂函数的性质直接求出m；（2）用换元法，求的最小值即可.【详解】解：（1）∵在区间上是增函数，∴解得，∴或或∵为偶函数，∴（2）由（1）令，，∵，∴∴∴最小值为，当且仅当即时等号成立.所以的最小值为.【点睛】(1)根据性质求幂函数的解析式通常要注意：①由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；②函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．(2)复合函数的值域相当于求外函数的值域.19．某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成六组:每一组，成绩大于等于秒且小于秒;第二组，成绩大于等于秒且小于秒;……第六组，成绩大于等于秒且小于等于秒.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）估计此次百米测试成绩的中位数(精确到);（2）为了尽快提高学生的体育成绩，对此次百米测试成绩不小于秒的两组同学进行特训，特训一段时间后有两位同学成绩符合要求，求这两位同学来自同一组的概率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用中位数左边的频率和为，计算中位数；（2）首先分别求这两个组的频数，再通过编号，列举的方法，求概率.【详解】（1）前两组的概率和为前三组的概率和为∵∴中位数为；（2）由已知记第五组的频数为，同理第六组的频数为2记第五组的学生为，第六组的学生为，则样本空间为共10个样本点记事件A：两位同学来自同一组，则共4个样本点∴.20．如图，平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点且.（1）若，求的值；（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意可得，，进而可得结果.（2）设，则，则，，由，即可得出结果.【详解】（1）∵∴∴由已知∴，∴，∴（2）∵，N为的中点，易证与全等，则，设，则∵∵∴∴21．已知函数.（1）若为偶函数，求的最小值；（2）当时，判断的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于的不等式的解集.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）根据为偶函数，由恒成立求得，然后利用基本不等式求函数的最小值；（2）易知时，在R上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到，然后将问题转化为，利用函数的单调性求解.【详解】（1）的定义域为R，，∵为偶函数，∴恒成立，∴恒成立，整理得恒成立，∴∴，当且仅当即时等号成立．∴的最小值为2.（2）时，在R上为单调递增函数，∵，，则，∴，即，解得，∴解集为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简.22．已知函数， .（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由函数的定义域为，即恒成立，即恒成立，当时，恒成立，因为，所以，即；当时，显然成立；当时，恒成立，因为，所以，综上可得，实数的取值范围.（2）由对任意，存在，使得，可得，设，因为，所以，同理可得，所以，所以，可得，即，所以在R上单调递增，所以，则，即恒成立，因为，所以恒成立，当时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得，所以；当时，显然成立；当时，恒成立，没有最大值，不合题意，综上，实数的取值范围.【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.