2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题  一、单选题1．若集合，则A的真子集个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出集合A，再求A的真子集.【详解】因为集合，所有集合，所以A的真子集个数为：.故选：C【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图； 连续型的数集用数轴；(2)一个集合有n个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为-2.2．已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，；【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以故选：A3．关于命题，，下列说法正确的是（    ）A．， B．不能判断p的真假C．p是假命题 D．p是真命题【答案】D【分析】根据基本不等式可判断命题的真假，从而可知其否定的真假.【详解】由基本不等式可得为真命题，故BC错，D正确.而的否定为：，，故A错误.故选：D.4．方程解的个数为（   ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】方程的解转化为函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，数形结合即可得解；【详解】解：方程解的个数，即的解得个数，即函数与的交点个数，再同一平面直角坐标系上画出与的图象如下：由函数图象可知，与有个交点，故选：B5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出题设不等式的等价条件，再逐项判断各项的正误，从而可得正确的选项.【详解】等价于，故，，故AB错误.因为，故成立，故D正确.取，则成立，但，故C错误.故选：D.6．已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由条件可得是周期函数，周期为4，然后可得答案.【详解】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是周期函数，周期为4所以故选：B7．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.【详解】掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的及弦，取的中点，连接.由题设可得的弧长为，而，故，故的长度为，故选：C.8．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则 （    ）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据的图像判断，结合对数运算求得的关系式，根据在上的最大值求得的另一个关系式，由此求得，进而求得的值.【详解】画出图像如下，由于时,，所以，且由得，所以由于，所以，所以，所以在上的最大值为，，，所以，所以.故选：D 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．，函数恒过定点B．，C．若，则为第一象限角D．若，则【答案】ABD【分析】对于A：利用指数函数、对数函数过定点验证；对于B:存在性问题，取特殊值验证，取x=10时；对于C: 由sinα,cosα同号，α可能为第一或第三象限角；对于D：构造基本不等式，求最值.【详解】对于A：恒过（1,1）,恒过（1,0）所以恒过定点，故A正确；对于B:当x=10时，，所以，，故B正确；对于C: 若，则sin α,cosα同号，α可能为第一或第三象限角，故C错误；对于D：若，则故D正确.故选：ABD10．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据题意，设y与时间t的函数关系式为,求得初相，再根据周期，即可判断选择.【详解】设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故满足题意的函数解析式为：.故选：CD.11．不等式的解集是，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解.【详解】不等式的解集是，可得，且的两个根为，韦达定理，所以，故A正确,D错误；由，则，故C正确；二次函数开口向下，函数的零点为，当时，，故B正确；故选：ABC.12．已知定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”以下函数是“定义域上的优美函数”的有（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】根据“定义域上的优美函数”的定义，对A、B、C、D一一验证.【详解】由题意：定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”：对于A：，，.，故A正确；对于A：，，当，此时，不符合，故B错误；对于C：，，而，，，即，故C正确；对于D：，当时，恒成立. ，，故D正确.故选：ACD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．  三、填空题13．函数的定义域为A，函数的值域为B，则__________．【答案】【分析】求出后可得.【详解】，，故，故答案为：.14．已知，，则的值为__________．【答案】1【分析】，然后利用两角和的正切公式可得答案.【详解】故答案为：115．设函数，则满足的x的取值范围是__________．【答案】【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论的取值范围，进行求解即可．【详解】解：因为①当时，，，故，②当，即时，，，故，恒成立，故，③当且，即时，，，，恒成立，故，综上所述，即故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 四、双空题16．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为__________，的取值范围是__________．【答案】1        【分析】由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解.【详解】因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点所以必有一个零点为，所以，即令，可得，即，即因为有且仅有5个零点，所以，解得故答案为：1； 五、解答题17．已知集合，集合，其中．（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先求出集合，，再根据交集的定义计算可得；（2）首先求出集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由，得，所以；当时，由，得，所以．所以．（2）由及，得．即因为是的必要不充分条件，所以所以，且等号不同时成立，解得．又，所以实数m的取值范围是．【点睛】本题考查必要不充分条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．18．如图，以x轴非负半轴为始边，角的终边与单位圆相交于点，将角的终边绕着原点O顺时针旋转得到角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出，，，用诱导公式先化简，再求值；（2）由题意得，得，用二倍角公式即可求解.【详解】解：（1）由题得，，．．（2）由题意得，得，所以．【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.19．若为上的奇函数，且时，．（1）求在上的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）根据奇函数性质得当时，，故，再结合奇函数的性质即可得答案；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据奇函数性质得，再结合函数单调性解不等式即可；【详解】解：（1）因为当时，，所以当时，，，因为为上的奇函数,所以，则．所以在上的解析式为．（2）函数在上单调递减．证明：设，且，，因为，且，所以，，则，所以在上单调递减．（3）因为为上的奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减．因为，所以，，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数解析式，解不等式等，考查运算求解能力，其中第三问解题的关键在于由奇偶性与单调性得时，分当，，时三种情况讨论求解.20．已知函数为偶函数，且图象的相邻两个最高点的距离为．（1）当时，求的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为和；（2）最大值为2，最小值.【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对化简，再利用偶函数求出的值，再利用求出的值，即可得的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.【详解】（1）由题意函数，因为函数图象的相邻两个最高点的距离为，所以，可得．又由函数为偶函数可得，所以，，则，．因为，所以，所以函数，令，，解得，，当时，；当时，，又，可得函数的单调递增区间为和．（2）将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，．当，即时，函数取得最小值，最小值为；当，即时，函数取得最大值，最大值为2．所以函数在区间上的最大值是，最小值是.【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为或的形式，然后将看成一个整体，根据与的单调区间列不等式求解.21．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为，四月底浮萍覆盖面积为，八月底浮萍覆盖面积为．若浮萍覆盖面积y（单位：）与月份（2020年1月底记，2021年1月底记）的关系有两个函数模型与可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到？（可能用到的数据：，，）【答案】（1）选函数模型，理由见解析；（2）16个月.【分析】（1）三组数据中选择两组数据，利用待定系数法可求两个函数模型的参数，再利用余下一组数据检验可得哪个模型更符合实际.（2）根据（1）中所得的函数的模型可估算浮萍覆盖面积.【详解】解：（1）若选择数据和，由，解得．则．当时，，与实际情况相符．下面仅考虑函数模型.若选择数据和，由，解得，则．当时，，与实际情况差别较大．若选择数据和，由，解得，则．当时，，与实际情况80差别较大．若选择数据和，由，解得，则．当时，实际情况45差别较大．故选函数模型．（2）因为，．而，所以至少经过16个月该承域的浮萍覆盖面积能达到．【点睛】方法点睛：对于函数模型的拟合问题，注意对所得模型是否符合要求进行验证，一般是根据预测值与实际值的误差的大小来判断，有时也可根据题设中的要求来判断.22．已知函数（，且）的图象经过点．（1）若函数在区间内存在零点，求实数m的取值范围；（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若时，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由指数函数过点，代入即可求出的值，从而求出的解析式，设，依题意函数在区间内有零点．则，即可求出参数的取值范围；（2）依题意可得，即可求出、的解析式，由，参变分离可得．设，则，利用基本不等式求出最小值，即可得解；【详解】解：（1）因为的图象经过点，则，所以，故因为，所以，设，则函数在区间内存在零点，即函数在区间内有零点．所以，即，解得．所以实数m的取值范围是．（2）由题意，函数，其中为奇函数，为偶函数，可得，即，解得．因为，所以．设，因为，为增函数，所以．所以．因为当且仅当，即时等号成立．所以，即t的取值范围为．【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集 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