2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合A并求出其补集，然后求得解.【详解】因，则，于是得，而，所以.故选：D2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长，而，由此得，所以扇形的面积.故选：B3．下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来.【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；是偶函数，当时，在上是增函数；在上是减函数.只有选项C满足条件.故选：C.4．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.【详解】，令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，所以可以取的一个区间是.故选：B5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的单调性，与特殊值比较大小，即可判断选项.【详解】，，，所以最小，又，，即，所以，即.故选：C6．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的定义域，单调性以及特值，结合选项得到答案．【详解】函数定义域为，则为奇函数，排除选项C，D又故选：A7．已知实数，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：A.8．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ）A．8080 B．4040 C．2020 D．1010【答案】B【分析】根据对称性的定义求出对称中心，再结合对称性进行分组计算函数值可得答案．【详解】若的对称中心为，则，即为奇函数的，必有且，解得，则的对称中心为，所以，，，，，，所以故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的计算，解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和． 二、多选题9．下列命题是真命题的有（    ）A．B．命题“”的否定为“”C．“”是“”成立的充分不必要条件D．若幂函数经过点，则【答案】AC【分析】A选项利用对数的四则运算即可求出；B项根据全称命题的否定直接判断；C项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.【详解】对A： ，故A正确；对B：命题“”的否定为“”，故B错误；对C：，但是，例如：，但，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确；对D：因为幂函数经过点，所以，即，所以，故D错误.故选：AC.10．若角为钝角，且，则下列选项中正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用平方关系得到的值，再求解，即可解得.【详解】，解得：，故D正确；，是钝角， ，即，联立，解得： ，.故选：BD11．设，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的可加性和取倒的性质可判断AB，作差可判断C，用的单调性可判断D.【详解】由，不等式的可加性可知A正确；由，可得，所以，故B不正确；由，由于的正负不能确定，所以与的大小不能确定，故C不正确；因为在上单调递增，所以当时，，所以D正确.故选：AD.12．三元均值不等式：“当、、均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，因为，，当且仅当时，即当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立，B选项错误；对于C选项，因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，因为，则，当且仅当，即当时，等号成立，D选项错误.故选：AC.  三、填空题13．函数的值域为___________.【答案】【分析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，于是有，所以函数的值域为.故答案为：14．已知函数若，则实数___________.【答案】或16【分析】分两种情况分别求出的表达式，得到关于的方程，解方程即可.【详解】当时，由题意知，，解得符合题意；当时，由题意知，，解得（舍），符合题意；综上可知，实数a的值为16或.故答案为: 16或.15．已知函数.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】设的值域为A,设的值域为B,求出集合B，由题意分析出，由得到只需，列不等式组求出的范围.【详解】设的值域为A,设的值域为B,因为所以在单调递减，所以.因为对任意，总存在，使得，所以.因为，时，，所以在恒成立，所以只需，只需，解得：，故实数的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）相等关系记的值域为A, 的值域为B,①若，，有成立，则有；②若，，有成立，则有；③若，，有成立，故；（2）不等关系(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4) 若，，有成立，故． 四、双空题16．若，则___________，_________.【答案】        【分析】分析所求值的角与已知值的角的关系，借助三角函数诱导公式即可作答.【详解】因，则；.故答案为：； 五、解答题17．已知角终边上一点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）4；（2）.【分析】(1)根据三角函数的定义可求出，然后分子分母同时除以，将弦化切，即可求出结果；(2) 根据三角函数的定义可求出，，再利用诱导公式将表达式化简，即可求出结果.【详解】解：（1）因为终边上一点，所以，所以.（2）已知角终边上一点，则，所以，，所以 18．已知集合.（1）当时，求；（2）是否存在实数，使得________成立？请在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）分别求解两个集合，再求交集；（2）若选择条件①，则，利用包含关系求实数的取值范围，若选择条件②，讨论求解集合，根据，求实数的取值范围，若选择条件③，同样是分情况求解集合，利用包含关系求实数的取值范围.【详解】解：（1）若，则，解不等式，得，所以；（2）显然，若选①，则，当时，集合，要使，则需，所以；当时，集合，此时所以若选①，则实数的取值范围为；若选②，当时，集合，要使，则需，所以；当时，集合，此时所以若选②，则实数的取值范围为；若选③，当时，集合，要使，则需，所以；当时，集合，此时，不满足题意；当时，集合，此时所以若选③，则实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，本题的关键是讨论求解集合，再分类，利用数轴，结合集合的包含关系或是运算结合求参数的取值范围.19．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求出在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）和.【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.【详解】（1）由题意知，若，则，所以，又因为，所以，得，所以；（2）因为，所以，正弦函数在区间上的单调递增区间为和，此时即或，得或，所以在上的递增区间为和.20．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）4千克，505元.【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．【详解】解：（1）由题意得：，（2）由（1）中得（i）当时，；（ii）当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.21．已知一元二次函数.（1）若，证明：函数在区间上单调递减；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)在给定区间内任取两个自变量值并规定大小，再作对应函数值的差，利用函数单调性定义即可作答；(2)按二次函数图象的开口方向及对称轴与区间的关系，分类讨论在区间上的最小值即可得解.【详解】（1），且，则，因，则有，，而，于是得，即，从而有成立，即，所以函数在区间上单调递减；（2）因，则二次函数f(x)的图象对称轴为，当时，，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意；当时，，函数在区间上单调递减，，得，符合题意；当时，，函数的最小值为，得，不符合题意；当时，，函数在区间上单调递增，，不符合题意，综上得，所以当函数在区间上的最小值为时，实数.22．函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点.已知函数.（1）试判断不动点的个数，并给予证明；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）3个，证明见解析；（2）.【分析】（1）分、、三种情况，利用构造函数，利用函数的单调性可得答案；（2）解法1：转化为成立，解不等式组，再由可得答案；解法2：转化为成立，等价于，使成立，构造函数，并利用函数的单调性，由可得答案.【详解】（1），若，则，所以，由得，即，因为在是单调递增函数，所以函数在是单调递增的，，所以在内存在唯一零点；若，则，所以，由得解得；若，则，所以，由得；因为在是单调递增的，，所以在内有唯一零点；综上所述，有3个不动点.（2）由（1）可知，当，若“”是真命题，就是，使不等式成立，等价于成立，即，不等式组成立，，解得，因为，保证，所以因为，，所以，所以，解得：.所以实数的取值范围是.解法2：由（1）可知，当，若“”是真命题，就是，使不等式成立，等价于成立，等价于，使成立，且也成立，由得，设，，使成立，只要即可，函数在上单调递减，所以，所以，，使在区间成立，只需要即可，即得，所以实数的取值范围是.