2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题  一、单选题1．设均为实数，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为 ，所以 ，即“”是“”的充要条件，选C.2．函数的图像的对称性为（    ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】B【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为，所以，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选：．3．已知全集及集合，，则的元素个数为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个数．【详解】解：，，，，1，2，3，，或，且，，，的元素个数为：3．故选：．4．已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，根据图象即可判断、、的大小关系．【详解】已知函数，，的零点依次为、、，即，，，在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，由图可知：．故选：D5．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为是定义在R上的奇函数，且当时，，所以时，，所以在R上单调递增，且．对任意的，不等式恒成立，即恒成立．因为在R上单调递增，所以任意的，恒成立．即恒成立，当时，，所以只需，解得．故A正确．【解析】奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值  二、填空题6．已知集合，，则__________．【答案】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，1，，，，．故答案为：．7．不等式的解集为______.【答案】【分析】解分式不等式即可得出该不等式的解集.【详解】解不等式得，因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．函数，的值域为__________．【答案】【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，所以，又，且，，所以，所以的值域为，故答案为：.9．计算：__________．【答案】4【分析】根据对数的运算法则和性质求解出结果.【详解】原式，故答案为：.10．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．【答案】【分析】分别代入，计算得和，所以可得方程在区间内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为.【详解】当时，，时，，所以方程在区间内有实根，所以下一个取的点是.故答案为：11．已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________．【答案】【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．【详解】∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．12．不等式的解集为__________．【答案】【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，显然不成立；综上，原不等式的解集为．故答案为：．13．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．【详解】解：的图象过点，函数的图象过点，又，，即．故答案为：．14．已知集合A={，其中，且}，B={，其中，且}，则的元素个数为__________．（用含正整数m的式子表示）【答案】2m【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算求出，根据，且即可得出的元素个数．【详解】解：A={，其中，且}，B={，其中，且}，所以，，，，，且，，1，2，，，元素的个数为：．故答案为：15．已知函数，若，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】先根据已知条件判断出的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】当时，，当时，，且，所以是定义在上的奇函数，因为的对称轴为，所以在上单调递增，由为奇函数可知在上单调递增，因为，所以，所以，所以或，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性将不等式变形为；、（2）根据单调性得到与的大小关系；（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集. 三、解答题16．已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．【答案】证明见解析；当且仅当时，等号成立．【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与比较大小即可证明.【详解】因为故，即．当且仅当时，等号成立．17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528．【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，由均值不等式，得，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2．18．已知函数．（1）作出这个函数的大致图像；（2）讨论关于x的方程的根的个数．【答案】（1）作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得的图象；（2）对分类，数形结合得答案．【详解】解：（1）因故先将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像，最后将函数图像x轴下方部分翻折到x轴上方，便得到函数的大致图像． （2）当时，方程根的个数为0；当，或时，方程根的个数为1；当，或时，方程根的个数为2．19．已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；； （2）.【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；（2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解.【详解】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故，据此，，即值域为（2）在显然是单调增函数，为正数，所以，故，令，则 随的增大而增大，最大值为，实数范围是.【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.20．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）．【分析】（1），然后分、两种情况讨论即可；（2）首先判断出在R上是增函数，然后可证明；（3）令，则当时，，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解.【详解】（1）．当时，，有，即．当时，，有，即．综上，函数在R上是奇函数．（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，故函数在上是增函数．由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数在上也是增函数，从而函数在R上是增函数．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，即因此，实数a的取值范围为．21．对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；于是，实数a，b所满足的条件为：．（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数；当且时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．因此，当时，函数在区间上具有性质P．【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.