2020-2021学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题  一、单选题1．函数的大致图像为（    ）．A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根据函数是偶函数，所以可以排除A,B选项，再根据时，即可判断.【详解】，，，所以函数为偶函数，故A,B选项错误；又时，，，C选项错误，故选：D.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．若函数是偶函数，则实数的值是（    ）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一【答案】C【分析】直接利用偶函数, ,代入x=1即可求出a.【详解】因为函数是偶函数,所以,即,解得: a=1故选:C【点睛】函数奇偶性的应用:(1)一般用或;(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.3．已知，则的值为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式及同角三角函数公式直接求解.【详解】根据诱导公式得，即，又，，，故选：B.4．已知，函数的值域是，有下列结论：①当时，；                  ②当时，；③当时，；                ④当时，；其中正确结论的序号是（    ）．A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【分析】先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出和的图象，时，由图可得的范围，可判断①；当时先求出的值域，进而可判断时，必有解，即可得的范围，可判断②③；当时，先计算在的值域，即可得的范围，进而可得的范围可判断④，可得正确答案.【详解】当时，，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在单调递增，在单调递减，所以当时取得最大值为，作出的图象如图所示：     对于①：令可得或，当时，若值域为，则，故①不正确对于②：当时，当时，，而 ，若值域为，则时，必有解，即，解得，所以，故②不正确；对于③：由②知，当时，，故③正确；对于④：当时，在单调递增，此时最小值为，最大值为，要使得值域为，由图知，故④正确；综上所述：③④正确，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由函数的解析式判断单调性，根据单调性作出的图象，对于分段函数其值域应为两段函数值域的并集，利用数形结合的思想可求参数的范围.  二、填空题5．函数的定义域为________．【答案】【分析】由题意得到求解可得出结果.【详解】根据题意得到，即，解得，即所求函数定义为.故答案为：.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，常见函数定义域：1偶次根式要求被开方式大于等于零，2分式要求分母不等于零，3对数的真数大于零，4零指数幂底数大于零等.6．已知集合，，则________．【答案】【分析】根据函数定义域及不等式，求出集合与，进而求得.【详解】根据函数的定义域可知，，，即，又，故，即，故，故答案为：【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．7．已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据指数函数单调性，由题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为函数在是严格增函数，所以，解得或，因此实数的取值范围是.故答案为：8．函数的单调递增区间为________．【答案】【分析】先求函数定义域，其次将原函数分解为两个初等函数，然后根据复合函数单调性的判别方法 “同增异减”来下结论.【详解】定义域为，由题意，设，则函数的对称轴为，单调递减区间为，因为是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是．故答案为：.【点睛】本题考查了复合函数的单调性问题，方法步骤：首先确定函数的定义域，其次将原函数分解为两个初等函数，然后在分别确定两个初等函数的单调性，最后根据单调性一致是增函数，单调性相反是减函数，即“同增异减”来下结论.9．对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．【答案】【分析】根据指数函数过定点和函数图像平移变换得答案.【详解】解：因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，所以函数（且）的图像经过定点.故答案为：10．如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________．【答案】70【分析】过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,可得AE和BF的长,再由AB=16,即可求解.【详解】如图所示,过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则在Rt△ACE中,,同理 BF=27(cm)又点A与B之间的距离为16(cm),∴通过闸机的物体的最大宽度为27+16+27=70(cm)故答案为:70.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字(图形)语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围．11．已知函数，则的反函数为________．【答案】【分析】先反解，然后将与进行交换，求出原函数的值域即为反函数的定义域，即可求解.【详解】当时，，所以，交换与可得，由，可得，所以的反函数为，故答案为：.12．已知、都是正数，且，则的最小值为________．【答案】5【分析】根据基本不等式，得到，求解即可得出结果.【详解】因为、都是正数，且，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，则，解得或（舍）所以的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．已知，，则用、的代数式表示________．【答案】【分析】由已知条件可得，代入中化简即可求值.【详解】由可得，即，由可得，所以，故答案为：.14．当，时，则的取值范围是________．【答案】【分析】由已知推出，，构造函数，利用函数的单调性可得出结果.【详解】因为，，所以，，，即，因此，所以，令，，任取，则，因为，所以，，因此，即，所以函数在上单调递增，所以，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.15．如图所示，已知函数图象上的两点、和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，设点的坐标为，则的值为________．【答案】4【分析】将点坐标代入，化简整理，即可得出结果.【详解】因为点在函数的图象上，所以，则，所以.故答案为：16．已知函数，函数，如果恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，，由，得，设，若，则，，则，若，则，，则，若，则，，则，即，作出的图象如图，当时，，当时，，由图象知要使有两个零点，即有四个根，则满足或，故答案为：【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题17．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先由诱导公式，将所求式子化简，再计算即可；（2）根据同角三角函数基本关系，构造齐次式，由弦化切，即可得出结果.【详解】（1），所以；（2）因为，所以.18．设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数的反函数解析式；（2）若为正实数，解关于的不等式．【答案】（1），，；（2）当，；当，．【分析】（1）根据函数的奇偶性，由求出，再验证即可确定的值，得到函数解析式，从而可得反函数的解析式；（2）由（1），结合所求不等式，得到，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以，则，此时，所以，则为奇函数，所以；令，则，即，当时，显然不成立，所以，则，所以，则，即函数的反函数解析式为；（2）由（1）可得，所以不等式可化为，因为对数函数是增函数，则，所以，所以当时，；当时，，综上，当，；当，．【点睛】思路点睛：求解含参数的对数型不等式问题时，一般需要先根据对数函数单调性，将原不等式化简，再讨论参数的取值范围，即可分别求解.19．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关系为．（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【答案】（1）最大值82；（2）能安排．【分析】（1）根据题意，选择函数解析式利用二次函数求最值；（2）学生的学习效果最佳，要求注意力指标大于80，只需解不等式S>80即可．【详解】（1）当时，．∴当t=12时，S=82最大．即注意力的最大指标为82．（2）①当时， 解得又∵；②当时，，解得 ．综上：的解集为而．所有教师能够安排核心内容的时间段，使得学生的学习效果均在最佳状态．【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围．20．已知幂函数是奇函数，且在为严格增函数．（1）求的值，并确定的解析式；（2）求，的最值，并求出取得最值时的取值．【答案】（1），；（2）时取到最小值为；时，取得最大值13．【分析】（1）由单调递增得出，又，得或，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为，令可得，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数 ，在为增函数，所以，即，解得，又，所以或，当时，，满足，因此是奇函数；当时， ，显然是偶函数，不符合题意；所以，；（2）因为，所以，令，因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，当即，时；因为，当时，即，时.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数，记．（1）解不等式：；（2）设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；（3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求、的值．【答案】（1）；（2）；（3），．【分析】（1）由题意，将所求不等式化为，因式分解后，即可得解集；（2）根据，利用换元法，求解最值，即可求解的取值范围；（3）根据(其中，均为实数)，，均有，建立关系即可求解，的值．【详解】（1）因为，所以由可得即为，即有，解得，即解集为；（2）存在实数，使得成立，即为，设，在递增，可得，，即有，则，设，，即有，在上递增，可得，所以.（3），令，，，若对于任意的，均有，即对任意，，，即，则，即，解得，所以，解得．【点睛】思路点睛：处理由二次型不等式在给定区间内恒成立求参数的问题时，一般根据二次函数在给定区间的单调性，确定最值，得到关于参数的不等式组，求解即可.