2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末考试数学试题 解析版

上海市南洋模范中学2020-2021学年高一上学期期末考试

数学试题

一、填空题（每小题3分，共36分）

1.已知，且,则的值为_________.

2.若，则“”是“且”的_________条件.

3.设集合，则_________.

4.设则_________（用含有的式子表示）.

5.已知集合,则的子集的个数为________.

6.已知全集为，且,则_________.

7.幂函数的图像过点，则函数的图像所经过的定点为_________.

8.已知函数则的反函数为_________.

9.方程在上有解，则实数的取值范围是_________.

10. 已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

11. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则_________.

12.设二次函数（为常数）.若不等式的解集为，则的最大值为_________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）

13.如果，且，那么下列不等式成立的是（    ）

A.   B.    C. D.  

14.已知函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是（    ）

A.       B.       C.         D.  

15.对于函数①，②，③，判断下列三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是严格减函数，在上是严格增函数；

命题丙：在上是严格增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（    ）

A. ①②              B. ②③             C.②               D. ①③ 

16.已知函数满足，则的最大值为（    ）

A.               B.              C.               D.  

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17.已知函数

（1）若关于的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于的不等式

18.已知函数(为常数)是奇函数.

（1）求的值与函数的定义域；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

19.2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线,当时，曲线是二次函数图象的一部分,当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

20.设是定义在上的奇函数，且对任意的,当时，都有

(1)若，试比较与的大小；

(2)解不等式

(3)如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求的取值范围.

21.已知，定义表示不小于的最小整数，例如.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且，求实数的取值范围；

（3）设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围

上海市2020-2021学年南模中学高一期末数学试卷（答案）

一、填空题（每小题3分，共36分）

1.已知，且,则的值为_________.

【解析】令,则所以,

2.若，则“”是“且”的_________条件.

【解析】必要不充分·

3.设集合，则_________.

【解析】

4.设则_________（用含有的式子表示）.

【解析】

5.已知集合,则的子集的个数为________.

【解析】，所以的子集为

6.已知全集为，且,则_________.

【解析】由知代入得，所以集合，从而得，带入得，所以,

7.幂函数的图像过点，则函数的图像所经过的定点为_________.

【解析】设,由,所以恒过.

8.已知函数则的反函数为_________.

【解析】在上严格增，所以,

9.方程在上有解，则实数的取值范围是_________.

【解析】

11. 已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

【解析】在上严格减，此时;在上严格增，此时,由题知

11. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则_________.

【答案】

【解析】由题意得又和图像关于对称，且图像也关于对称，不妨设所以也关于对称，所以，又

12.设二次函数（为常数）.若不等式的解集为，则的最大值为_________.

【答案】

【解析】由题意得且

所以，又

所以.

比值换元，令

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）

13.如果，且，那么下列不等式成立的是（    ）

A.   B.    C. D.  

【答案】

14.已知函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是（    ）

A.       B.       C.         D.  

【答案】

15.对于函数①，②，③，判断下列三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是严格减函数，在上是严格增函数；

命题丙：在上是严格增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（    ）

A. ①②              B. ②③             C.②               D. ①③ 

【答案】

16.已知函数满足，则的最大值为（    ）

A.               B.              C.               D.  

【答案】

【解析】

两边平方，易整理得

令.

所以则即

令则由基本不等式得

.

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17.已知函数

（1）若关于的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于的不等式

【解析】（1）由题：解集为知：解得；

（2）时

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为；

18.已知函数(为常数)是奇函数.

（1）求的值与函数的定义域；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【解析】(1)由题知,所以,即，当时不满足，舍去，所以，

,解得.

(2)  ,

所以恒成立等价于,

又在严格增，

所以.

19.2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线,当时，曲线是二次函数图象的一部分,当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

【解析】(1)当时，设，

将点代入得，

当时，；

当时，将点代入，得，

所以

（2）当时，，

解得，所以，

当时，，

解得，所以，

综上时学生听课效果最佳，

此时，

所以教师能够合理安排时间讲完题目．

20.设是定义在上的奇函数，且对任意的,当时，都有

(1)若，试比较与的大小；

(2)解不等式

(3)如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求的取值范围.

【解析】(1),,即,

由题知：

所以

（2）任取,且,

由（1）知,所以在上严格增；

不等式解得.

(3)    设函数的定义域分别是和,

则；

由可得或;

解得的取值范围是

21.已知，定义表示不小于的最小整数，例如.

（4）若，求实数的取值范围；

（5）若，且，求实数的取值范围；

（6）设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围

【解析】

（1）

（2）因为，所以，，

即  所以

当 无解

当  解得

综上，

（3）

  时函数的值域为

所以对于任意恒成立

当时，，   

当时，，   

综上，