2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．如果，且，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，

．

【详解】，且，

．

，，

因此．

故选．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

2．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A．t≤–1 B．t<–1

C．t≤–3 D．t≥–3

【答案】A

【分析】由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.

【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．对于函数①，②，③，判断下列三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是严格减函数，在上是严格增函数；

命题丙：在上是严格增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．② D．①③

【答案】B

【分析】根据所给函数解析式，利用函数单调性，奇偶性的判定方法，逐个判断三个命题，即可得出结果.

【详解】对于①，，其定义域，且，所以是偶函数；满足命题甲为真；

当时，，显然单调递减，不满足命题乙为真；故舍去；

对于②，则显然是偶函数，满足命题甲为真；

又是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上是严格减函数，在上是严格增函数，满足命题乙为真；

因为在上显然是严格增函数，即满足命题丙为真；故②满足题意；

对于③，则，定义域为，且，所以是偶函数，满足命题甲为真；

又，满足在上是严格减函数，在上是严格增函数；即命题乙为真；

，根据指数函数的性质可得，该函数在每段内都单调递增，且函数连续，所以其在上是严格增函数，满足命题丙为真命题；故③满足题意；

综上，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是②③.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据函数解析式，逐项判断和的单调性，以及的奇偶性即可.

4．已知函数满足，则的最大值是（　　）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数，然后利用基本不等式的性质，转化为关于的一元二次不等式，进行求解即可．

【详解】由，

得，得，

平方得，①

又②

②－①得

，

即，③

设，

则③等价为，

即，

∴，

则，

则，

∴，

即

即

，

设，

则不等式等价为，

整理得，

得，

即，

则的最大值为，

故选C．

【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

二、填空题

5．已知，且，则的值为_________．

【答案】3

【分析】用换元法，令，求出代入后可得，然后解即可．．

【详解】令，则，所以，

．

故答案为：3．

6．若，则“”是“且”的_________条件．

【答案】必要不充分

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，成立，是必要的．

时，有，即时不一定有且．不充分，

因此应是必要不充分条件．

故答案为：必要不充分．

7．设集合，则_________．

【答案】

【分析】先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出.

【详解】，

.

故答案为：.

8．设，，则_____（用含的式子表示）．

【答案】

【分析】直接利用换底公式以及对数的运算法则化简即可.

【详解】

，故答案为.

【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.

9．已知集合，则的子集个数为______．

【答案】

【分析】求出集合，确定集合的元素个数，利用集合的子集个数可求得集合的子集个数.

【详解】，则的子集个数为．

故答案为：.

【点睛】本题考查集合子集个数的求解，同时也考查了对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

10．已知全集为，，且，则_________．

【答案】

【分析】由题可得，可得，进而可得，可求出，即得结果.

【详解】由知代入得，

所以集合，

从而得，代入得，

所以.

故答案为：.

11．幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．

【答案】

【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点.

【详解】因为幂函数过点，可解得，

所以，

故，

当时，，

故恒过定点.

故答案为

【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题.

12．已知函数则的反函数为_________．

【答案】

【分析】解方程求出，并求出的取值范围后可得反函数．

【详解】在上严格增，所以，

由得，，

所以．

故答案为：．

13．方程在上有解，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】由利用基本不等式求解.

【详解】，当且仅当，即时等号成立，

.

故答案为：.

14．已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】对分段函数进行分段讨论即可.

【详解】当时，在上单调递减，在存在最小值，

当时，在上单调递增，

若在上存在最小值，则只需满足，

，

故答案为：.

【点睛】本题考查函数单调性的应用，也考查了数形结合的思想.

15．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则_________．

【答案】

【分析】由得，同样由得，然后利用函数和、的图象关于直线对称，可得的关系．

【详解】由题意得又和图象关于对称，且图象也关于对称，不妨设，所以也关于对称，所以，又，．

故答案为：3．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是数形结合思想，即把函数的零点转化为方程的根，又转化为函数图象交点的横坐标，然后利用对称性得出结论．这是解决方程根的分布和函数零点个数等问题中的常用方法．

16．设二次函数（，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为______．

【答案】

【分析】由不等式恒成立可得且，取可得，令，则可得，再利用基本不等式即可求解.

【详解】，则为，

是二次函数，，

要使不等式的解集为，则应满足，

可得且，

当时，可得，即，令，

则

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用，解题的关键是根据不等式恒成立得出，，，继而将不等式转化为，方可利用基本不等式求解.

三、解答题

17．已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

【分析】(1)由已知可得的两个根为1和2，将根代入方程中即可求出的值.

(2)代入，分，，三种情况进行讨论求解.

【详解】（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，

所以，解得．

（2）当时，，即，

当时，解得或；当时，解得；

当时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数值，考查了含参一元二次不等式的求解，属于基础题.

18．已知函数（为常数）是奇函数.

（1）求的值与函数的定义域.

（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.

【答案】（1），定义域为或；（2）.

【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；

（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】（1）因为函数是奇函数，

所以，所以，

即，

所以，令，解得或，

所以函数的定义域为或；

（2），

当时，所以，所以.

因为，恒成立，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.

19．2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

【答案】（1）；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．

【分析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；

（2）利用分段解析式，分别解不等式，即可求出效果最佳的的范围，验证即可．

【详解】（1）当时，设，

将点代入得，

∴当时，；当时，将点代入，

得．所以；

（2）当时，，

解得，

所以；

当时，，

解得，所以，

综上时学生听课效果最佳，

此时，

答：教师能够合理安排时间讲完题目．

【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的性质，是中档题．

20．设是定义在上的奇函数，且对任意的，

当时，都有．

(1)若，试比较与的大小；

(2)解不等式；

(3)如果和这两个函数的定义域的交集是空集，求的取值范围．

【答案】 ；2；（3）.

【分析】（1）先利用函数单调性的定义证明函数f(x)在在上是增函数，再利用单调性得到与的大小.(2)利用函数的单调性得到不等式组，解不等式组得解.(3)分别求出的定义域，再分和情况讨论即可.

【详解】（1）设，由奇函数的定义和题设条件，得

在上是增函数．

又，，

∴

（2）∵在上是增函数，不等式等价于

解得

∴原不等式的解集是 .

（3）设函数g(x),h(x)的定义域分别是P和Q，

则，

．

于是等价于或．

解得c范围是.

【点睛】(1)本题主要考查函数单调性的证明和单调性的运用，考查函数的定义域的求法和集合的运算的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.

21．已知，定义表示不小于的最小整数，例如．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且，求实数的取值范围；

（3）设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）根据函数定义可直接得出；

（2）由可得，则，即，讨论和求解；

（3），可得在的值域为，则不等式化为对于任意恒成立，讨论和求解.

【详解】（1）根据的定义可得若，则，

故的取值范围为；

（2）因为，所以，，，

即，所以，

当时，，无解，

当时，，，解得，

综上，的取值范围；

（3），

时函数的值域为，

所以对于任意恒成立，

当时，，，，，

当时，，，，，

综上，.

【点睛】本题考查函数新定义问题，考查函数不等式恒成立问题，解题的关键是正确理解新定义，正确进行不等关系的转化.