2020-2021学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知，则函数的图像必定不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A．2．下列函数中，定义域为的偶函数是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数定义域为，但满足，所以函数为奇函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，符合题意；对于D中，函数为偶函数，但定义域不是R,所以不符合题意.故选：C.3．下列不等式中，恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确.【详解】A选项，若，则，故A错；B选项，若，则，故B错；C选项，若，，，则，，此时，故C错；D选项，显然恒成立，所以，即D选项正确.故选：D.4．设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】时，根据解析式求出，再由求解不等式即可.【详解】当时，则，由，解得，又，所以.故选：C  二、填空题5．已知全集，集合，则___________．【答案】【详解】因为，所以 6．不等式的解集是____________．【答案】【详解】解：或7．已知，则用表示_________.【答案】【分析】根据对数的运算性质与换底公式，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.8．若，且，，则的最大值是_________.【答案】【分析】根据题中条件，由不等式的性质，求出的范围，即可得出结果.【详解】因为，，即，，所以，因此，即的最大值是.故答案为：.9．已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值__________．【答案】1【分析】解方程再讨论函数的奇偶性得解.【详解】因为函数为幂函数，所以或.当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；当时，为奇函数，符合题意.故答案为：110．已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为条件和条件，若是的充分不必要条件，所以是的真子集，因此只需.故答案为：.【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．11．函数的值域是______________.【答案】；【分析】将函数转化为，然后利用指数函数的单调性求解.【详解】函数，因为，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以的值域是，故答案为：12．已知正实数，满足，则的最大值为_________.【答案】【分析】利用基本不等式可求得的范围，等式两边同时平方即可得解.【详解】，，当且仅当即时等号成立，，即的最大值为.故答案为：13．已知函数，则该函数的零点是_________.【答案】【分析】通过函数值为0，转化求解函数的零点即可．【详解】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数的零点，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，所以函数的零点为．故答案为：．14．在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了，，，四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为_________.(填入，，，中的一个)【答案】【分析】从分式的性质中寻找到的变化规律，结合变化规律，即可求解.【详解】因为，，，都是整数，可得分子越大或分母越小时，的值越大，而分子增加1个单位时，分母越小时，的值增长越多，由，可知分母最小，所以增大1个单位时会使得的值增加最多.故答案为：.15．已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为___________【答案】【分析】利用函数的单调性可以判断出函数的单调性,运用奇偶函数的定义可以判断出函数的奇偶性,利用函数的奇偶性可以化简不等式,最后利用函数的单调性,得到关于的不等式,对不等式进行常变量分离,构造函数,应用二次函数的性质求出函数的最大值,最后确定实数的取值范围.【详解】由函数的单调性的性质可知：函数是整个实数集上的增函数.又因为,所以函数是奇函数,于是有,而函数是整个实数集上的增函数,所以有,由题意可知：不等式在区间上有解.,令,所以有,所以当时,函数有最大值,最大值为,要想不等式在区间上有解,只需.故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性的应用,考查了不等式在闭区间上有解问题,常变量分离,构造函数是常用的解题方法.16．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.【答案】【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数.因为，所以等价于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可. 三、解答题17．已知不等式的解集是，函数的定义域是，求.【答案】【分析】解不等式求得解集，根据偶次被开方数大于等于0可求得集合．即可求出．【详解】解：:，解得,即由解得或，即故．故答案为: .18．已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，且在区间上是严格减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，直接判定，即可得出结果；（2）先得到，根据其在给定区间的单调性质，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以其定义域为，关于原点对称；又，所以是奇函数；（2）因为是开口向上，对称轴为的二次函数，又在区间上是严格减函数，所以只需，即.因此实数的取值范围是.19．设.（1）若不等式解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）m；（2）m.【分析】（1）转化为对一切实数恒成立，只需m+1＜0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）0，求解即可.（2）根据题意可知m+1＞0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，求解即可；【详解】（1）不等式解集为，即对一切实数恒成立，∴m+1＜0，＝m2-4（m+1）（m-1）0，∴m；（2）f（x）＞0的解集为R，∴m+1＞0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，∴m；【点睛】二次不等式的恒成立问题注意考虑二次项系数.20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）.【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下：由题题意，，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，所以存在，使，即，即，令，所以在上是增函数，因此，；（3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，所以，即，所以，又因为，所以或，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，所以满足条件的数对只有.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.